P.ti di massimo e minimo, soluzione strana (2 variabili)
Buongiorno ho un esercizio che non riesco a capire.
Si tratta di trovare gli estremanti di $f(x,y)= ln(3+x^2*y^3) $.
Dallo studio delle derivate parziali prime otteniamo che si annullano in P1=(xo,0) per ogni xo e in P2=(0,yo) per ogni yo. Dallo studio della matrice Hessiana troviamo il determinante nullo e quindi dobbiamo cambiare strada.
Uso il metodo del segno.
Cioè prendo $ tilde(f)(x,y)=f(x,y)-ln(3) $ e vedo se esiste almeno un intorno di P1 e P2 in cui questa risulti essere sempre positiva (min relativo), negativa (max relativo) o nessuno dei due strettamente (sella).
Cioè studio il segno e si trova facilmente:
$ x^2*y^3>0 $
Ora, si vede che per y>0 e ogni x il segno della nostra funzione è positivo, mentre per y<0 e ogni x il segno della nostra funzione è negativo.
A questo punto però non capisco cosa ho trovato.
Guardando la soluzione posso provare a dare un'interpretazione, ma non sicuro che sia corretta.
Mi verrebbe da dire cioè che nel caso di P1 io non possa dire niente di preciso perchè i punti (x,0) si trovano proprio lì dove la funzione cambia segno e quindi non esiste nessun intorno in cui sia sempre positiva o negativa. Lo stesso vale per il caso P2 in cui yo=0.
Mentre nel caso P2 (con yo diverso da 0) posso prendere un intorno in cui f è sempre positiva o negativa a seconda del segno della yo.
È giusta questa cosa che ho detto? Il mio dubbio sta nel fatto che (0,yo) non è propriamente un punto, ma un insieme di punti.
Quindi quando si dice "trovare un intorno", s'intende un intorno del singolo punto di (0,yo) o tutti contemporaneamente. Perchè altrimenti il secondo caso dovrebbe essere uguale al primo.
Grazie per le rispsote
ciao!
Si tratta di trovare gli estremanti di $f(x,y)= ln(3+x^2*y^3) $.
Dallo studio delle derivate parziali prime otteniamo che si annullano in P1=(xo,0) per ogni xo e in P2=(0,yo) per ogni yo. Dallo studio della matrice Hessiana troviamo il determinante nullo e quindi dobbiamo cambiare strada.
Uso il metodo del segno.
Cioè prendo $ tilde(f)(x,y)=f(x,y)-ln(3) $ e vedo se esiste almeno un intorno di P1 e P2 in cui questa risulti essere sempre positiva (min relativo), negativa (max relativo) o nessuno dei due strettamente (sella).
Cioè studio il segno e si trova facilmente:
$ x^2*y^3>0 $
Ora, si vede che per y>0 e ogni x il segno della nostra funzione è positivo, mentre per y<0 e ogni x il segno della nostra funzione è negativo.
A questo punto però non capisco cosa ho trovato.
Guardando la soluzione posso provare a dare un'interpretazione, ma non sicuro che sia corretta.
Mi verrebbe da dire cioè che nel caso di P1 io non possa dire niente di preciso perchè i punti (x,0) si trovano proprio lì dove la funzione cambia segno e quindi non esiste nessun intorno in cui sia sempre positiva o negativa. Lo stesso vale per il caso P2 in cui yo=0.
Mentre nel caso P2 (con yo diverso da 0) posso prendere un intorno in cui f è sempre positiva o negativa a seconda del segno della yo.
È giusta questa cosa che ho detto? Il mio dubbio sta nel fatto che (0,yo) non è propriamente un punto, ma un insieme di punti.
Quindi quando si dice "trovare un intorno", s'intende un intorno del singolo punto di (0,yo) o tutti contemporaneamente. Perchè altrimenti il secondo caso dovrebbe essere uguale al primo.
Grazie per le rispsote
ciao!
Risposte
se $y_0>0$,in ogni intorno sufficientemente piccolo di $P(0,y_0)$ si ha $x^2y^3 geq 0$ e quindi $P$ è un punto di minimo relativo
se $y_0<0$......................................................................................$.leq$..............................massimo relativo
in ogni intorno sufficientemente piccolo di $Q(x_0,0)$ , $x^2y^3$ cambia segno e quindi $Q$ è un punto di sella
se $y_0<0$......................................................................................$.leq$..............................massimo relativo
in ogni intorno sufficientemente piccolo di $Q(x_0,0)$ , $x^2y^3$ cambia segno e quindi $Q$ è un punto di sella
ok..allora c'ero. grazie
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