Pti critici funzione a due variabil: hessiano nullo

[marthy_92]

Ciao a tutti ! Ho dei problemi con questo esercizio. Devo trovare i punti critici della funzione

$ f(x,y)= x^3-6xy+3y^2+3x $

e discutere la natura estremante.

Ora, dopo aver svolto i calcoli a me risulta l'unico punto $ P (1,1) $ critico.
Tuttavia l'hessiano calcolato nel punto risulta essere nullo quindi non posso concludere nulla.
Allora ho considerato la f ristretta a delle curve passanti per P.
In particolare, nei punti della parabola $ y = x^2$ la funzione vale

$ f(x,x^2)= x^3-6x^3+3x^2+3x = -3x^3+3x^2+3x = h(x) $
Calcolando

$ h'(x) = -9x^2+6x+3 $

Notanto che $ h'(P) = 0$ ho calcolato

$ h''(x)=-18x+6rArrh''(P)=-12<0rArr$ P massimo relativo.

L'idea è ora di trovare un'altra curva passante per P tale che P risulti minimo relativo in modo da dire
che P è punto di sella. Allora ho considerato la f in punti del tupo $ (x,1) $ quindi

$ f(x,1)=x^3-6x+3+3x=g(x) $

$ g'(x)= 3x^2-3; g'(P)=0 $

$ g''(x)= 6x, g''(P)=6>0 $ dunque P è minimo relativo

Allora P sarebbe di sella. Giusto il ragionamento? Grazie

[Rigel1]

Senza farla tanto lunga, basta osservare che la funzione
\[
g(x) := f(x,x) = x^3-3x^2+3x = (x-1)^3 +1
\]
ha un punto di flesso a tangente orizzontale in \(x=1\).

[marthy_92]

e quindi Rigel, scusami , avendo un flesso a tangente orizzontale come concludo che il punto $ P (1,1) $ è sella?
La presenza del flesso cosa mi consente di dire?

[Rigel1]

"Marthy_92":e quindi Rigel, scusami , avendo un flesso a tangente orizzontale come concludo che il punto $ P (1,1) $ è sella?
La presenza del flesso cosa mi consente di dire?

Ti permette di dire che \(f(x,x) < f(1,1) < f(y,y)\) per ogni \(x < 1\) e \(y>1\), dunque \((1,1)\) non è né di massimo né di minimo.