PSD di $ \mathcal(F) [\text{d}^2/{\text{d} t^2} w(v \cdot t)](\Omega) $ e altro
Salve a tutti.
Come da soggetto - tra i vari problemi che ho sul tavolo - c'è il calcolo della densità spettrale di potenza (PSD) del rumore bianco filtrato con una funzione di trasferimento nota.
Il problema è che il mio rumore bianco varia al variare della velocità di un punto materiale.
Ho fatto questi calcoli che mi sembrano corretti:
$ {:
( \mathcal(F) [\text{d}^2/{\text{d} t^2} w(v \cdot t)](\Omega) = ),
( = (j \Omega)^2 \int_{-oo}^{+oo} w(v \cdot t) e^{-j \Omega t} \text{d} t = ),
( = {(j \Omega)^2}/v \int_{-oo}^{+oo} w(v \cdot t) e^{-j \Omega/v \cdot vt} \text{d} (vt) = ),
( = {(j \Omega)^2}/v W(j \Omega/v) = v(j \Omega/v)^2 W(j \Omega/v) = F_1(\Omega, v) )
:} $
Per il calcolo della potenza - al variare della velocità - pensavo di utilizzare Parseval:
$ P(v) = 1/{2 \pi} int_{-oo}^{+oo} |F_1(\Omega, v) \cdot F_2(\Omega)|^2 \text{d}\Omega $
e - dal momento che né $ F_1(\Omega, v) $, né tantomeno $ F_2(\Omega) $, un filtro del quart'ordine di cui mi è noto tutto, sono integrabili, pensavo di risolvere il problema per via numerica.
Il punto in cui mi perdo è la Trasformata di Fourier del rumore bianco, poiché devo studiare l'andamento in potenza del sistema al variare della velocità.
Un caro saluto (e grazie in anticipo),
Giacomo Alessandroni
Come da soggetto - tra i vari problemi che ho sul tavolo - c'è il calcolo della densità spettrale di potenza (PSD) del rumore bianco filtrato con una funzione di trasferimento nota.
Il problema è che il mio rumore bianco varia al variare della velocità di un punto materiale.
Ho fatto questi calcoli che mi sembrano corretti:
$ {:
( \mathcal(F) [\text{d}^2/{\text{d} t^2} w(v \cdot t)](\Omega) = ),
( = (j \Omega)^2 \int_{-oo}^{+oo} w(v \cdot t) e^{-j \Omega t} \text{d} t = ),
( = {(j \Omega)^2}/v \int_{-oo}^{+oo} w(v \cdot t) e^{-j \Omega/v \cdot vt} \text{d} (vt) = ),
( = {(j \Omega)^2}/v W(j \Omega/v) = v(j \Omega/v)^2 W(j \Omega/v) = F_1(\Omega, v) )
:} $
Per il calcolo della potenza - al variare della velocità - pensavo di utilizzare Parseval:
$ P(v) = 1/{2 \pi} int_{-oo}^{+oo} |F_1(\Omega, v) \cdot F_2(\Omega)|^2 \text{d}\Omega $
e - dal momento che né $ F_1(\Omega, v) $, né tantomeno $ F_2(\Omega) $, un filtro del quart'ordine di cui mi è noto tutto, sono integrabili, pensavo di risolvere il problema per via numerica.
Il punto in cui mi perdo è la Trasformata di Fourier del rumore bianco, poiché devo studiare l'andamento in potenza del sistema al variare della velocità.
Un caro saluto (e grazie in anticipo),
Giacomo Alessandroni
Risposte
Perdonami se dirò delle assurdità, ma lo spettro del rumore bianco non ha modulo costante e fase casuale ?
Siamo sempre lì... A quale funzione applichi la trasformata di Fourier?
In altre parole, applichi la t.d.F. a \(w^{\prime \prime} (vt)\) (cioé alla derivata seconda di \(w(\cdot)\) calcolata in \(vt\)) oppure a \(\big( w(vt)\big)^{\prime \prime}\) (cioé alla derivata seconda della funzione composta da \(w(\cdot)\) e \(t\mapsto vt\))?
P.S.: Immagino \(v\) sia una costante positiva, giusto?
In altre parole, applichi la t.d.F. a \(w^{\prime \prime} (vt)\) (cioé alla derivata seconda di \(w(\cdot)\) calcolata in \(vt\)) oppure a \(\big( w(vt)\big)^{\prime \prime}\) (cioé alla derivata seconda della funzione composta da \(w(\cdot)\) e \(t\mapsto vt\))?
P.S.: Immagino \(v\) sia una costante positiva, giusto?
"Quinzio":Confermo Quinzio bisogna vedere nel dettaglio perchè in frequenza come dici tu si dovrebbe semplificare molto concettualmente... (questa sera mi ci metto...)
Perdonami se dirò delle assurdità, ma lo spettro del rumore bianco non ha modulo costante e fase casuale ?
Intanto grazie per le risposte.
1. Per Quinzio: sì, il rumore bianco ha modulo costante, ma il mio ha un argomento che viene moltiplicato per una variabile: $ v $.
In pratica la sua ampiezza $ q $ che possiamo ipotizzare pari ad $ 1 $ (non cerco un risultato numerico, ma come varia la potenza al variare di $ v $), diminuisce all'aumentare di $ v $, mantenendo però l'area (pari alla potenza) costante.
2. Per Gugo82: sì quella parte di problema l'ho già risolto: la seconda che hai detto. I calcoli quindi mi sembrano esatti.
____________________________________
Problema (banale) che non avevo notato:
$ P(v) = 1/{2 \pi} int_{-oo}^{+oo} |v(j \Omega/v)^2 W(j \Omega/v) \cdot F_2(\Omega)|^2 \text{d}\Omega $
Quindi, considerando $ W(j \Omega/v) = q/v $ si ottiene:
$ P(v) = 1/{2 \pi} q/{v^4} int_{-oo}^{+oo} |(j \Omega)^2 \cdot F_2(\Omega)|^2 \text{d}\Omega $
Ovvero l'integrale è una costante e non dipende dalla velocità.
Ma le prove sperimentali mi dimostrano l'esatto contrario: c'è una dipendenza dalla velocità di un fattore $ v^2 $, non $ v^{-4} $!
Ed è proprio questo il punto in cui mi areno. Perché l'introduzione di $ F_2(\Omega) $, un filtro passa basso del quart'ordine (le sospensione dell'automobile per dirla tutta), non produce nessun effetto rispetto alle sollecitazioni della stessa?
Dove sbaglio nell'impostare il mio calcolo?
Un caro saluto,
Giacomo Alessandroni
1. Per Quinzio: sì, il rumore bianco ha modulo costante, ma il mio ha un argomento che viene moltiplicato per una variabile: $ v $.
In pratica la sua ampiezza $ q $ che possiamo ipotizzare pari ad $ 1 $ (non cerco un risultato numerico, ma come varia la potenza al variare di $ v $), diminuisce all'aumentare di $ v $, mantenendo però l'area (pari alla potenza) costante.
2. Per Gugo82: sì quella parte di problema l'ho già risolto: la seconda che hai detto. I calcoli quindi mi sembrano esatti.
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Problema (banale) che non avevo notato:
$ P(v) = 1/{2 \pi} int_{-oo}^{+oo} |v(j \Omega/v)^2 W(j \Omega/v) \cdot F_2(\Omega)|^2 \text{d}\Omega $
Quindi, considerando $ W(j \Omega/v) = q/v $ si ottiene:
$ P(v) = 1/{2 \pi} q/{v^4} int_{-oo}^{+oo} |(j \Omega)^2 \cdot F_2(\Omega)|^2 \text{d}\Omega $
Ovvero l'integrale è una costante e non dipende dalla velocità.
Ma le prove sperimentali mi dimostrano l'esatto contrario: c'è una dipendenza dalla velocità di un fattore $ v^2 $, non $ v^{-4} $!
Ed è proprio questo il punto in cui mi areno. Perché l'introduzione di $ F_2(\Omega) $, un filtro passa basso del quart'ordine (le sospensione dell'automobile per dirla tutta), non produce nessun effetto rispetto alle sollecitazioni della stessa?
Dove sbaglio nell'impostare il mio calcolo?
Un caro saluto,
Giacomo Alessandroni
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