Provare una disuguaglianza
Qualcuno potrebbe aiutarmi per favore a risolvere questo esercizio?? Grazie a chiunque risponda.
Provare che, per ogni $a,b in [0,2]$, si ha:
$|\log \frac{b^{3}+1}{a^{3}+1} | \leq \root[3]{4}|b-a|$
Io sono arrivato ad assumere che $b != a$, perché la disuguaglianza è ovvia se sono uguali, e ho posto $b > a$ per poter togliere il valore assoluto, ma non riesco ad andare avanti.
Provare che, per ogni $a,b in [0,2]$, si ha:
$|\log \frac{b^{3}+1}{a^{3}+1} | \leq \root[3]{4}|b-a|$
Io sono arrivato ad assumere che $b != a$, perché la disuguaglianza è ovvia se sono uguali, e ho posto $b > a$ per poter togliere il valore assoluto, ma non riesco ad andare avanti.
Risposte
Ricordati che il logaritmo del rapporto è la differenza dei logaritmi, e poi rifletti sul concetto di funzione Lipschitziana. Non so se è sufficiente ma di sicuro è un progresso.
Probabilmente è un logaritmo in base 3. Mi ricorda molto Salvy dallo stile
@Bokonon, da cosa deduci che la base del logaritmo sia 3? La disuguaglianza è certamente vera se la base è $e$ (ed è pure abbastanza larga).
Ciao Salv8,
Quando vedo una disuguaglianza del genere con $a $ e $b$ la prima cosa che mi viene in mente è integrare...
Il valore assoluto non lo devi togliere anche se è ragionevole supporre $b > a$, soprattutto perché compare nella disuguaglianza da dimostrare...
Considera l'integrale definito seguente:
$|\int_a^b (3x^2)/(x^3 + 1) \text{d}x | $
La funzione integranda $f(x) = (g'(x))/g(x) = (3x^2)/(x^3 + 1) $ è positiva per $x > 0 $ ed in particolare nell'intervallo $[0, 2]$ ha un massimo nel punto $M(root[3]{2}, root[3]{4}) $, quindi...
Quando vedo una disuguaglianza del genere con $a $ e $b$ la prima cosa che mi viene in mente è integrare...
"Salv8":
[...] per poter togliere il valore assoluto [...]
Il valore assoluto non lo devi togliere anche se è ragionevole supporre $b > a$, soprattutto perché compare nella disuguaglianza da dimostrare...
Considera l'integrale definito seguente:
$|\int_a^b (3x^2)/(x^3 + 1) \text{d}x | $
La funzione integranda $f(x) = (g'(x))/g(x) = (3x^2)/(x^3 + 1) $ è positiva per $x > 0 $ ed in particolare nell'intervallo $[0, 2]$ ha un massimo nel punto $M(root[3]{2}, root[3]{4}) $, quindi...
"Mathita":
@Bokonon, da cosa deduci che la base del logaritmo sia 3? La disuguaglianza è certamente vera se la base è $e$ (ed è pure abbastanza larga).
Proprio per quella ragione! La base 3 rende il log più piccolo.
E' solo una sensazione ma mi pare più elegante.
Con $b=2$ e $a=0$ (o viceversa) verrebbe $log_3(9)<=4^(1/3)*2 rArr 1<=4^(1/3)$
Ciao Bokonon, ciao Mathita,
Il logaritmi in base 3 "non esistono": o meglio esistono come definizione matematica dato che come sapete $log_b a = x \iff b^x = a $ e la base $b$ del logaritmo può essere $0 < b < 1 $ oppure $b > 1 $, ma di fatto le basi dei logaritmi che si usano nella pratica sono solo 3:
i) $b = 2 $: Informatica, Telecomunicazioni, etc.;
ii) $b = e $: molto comodo in Analisi Matematica ed in svariati altri campi;
iii) $b = 10 $: Astronomia/Astrofisica, Chimica, Fisica delle particelle, etc.
Qualsiasi altra base di un logaritmo si può ottenere da quelle in base $e$ ed in base $10$ con la formula del cambiamento di base che conoscete benissimo quindi non sto a tediarvi: non è un caso che nelle calcolatrici scientifiche tascabili compaiano solo $ln $ (cioè $log_e $) e $log$ (cioè $log_10 $).
Per evitare fraintendimenti personalmente adotto la convenzione ISO, ma comunque sia quando si vede un logaritmo senza che sia specificata la base come nel caso della disuguaglianza proposta da Salv8 può venire il dubbio, ma la base del logaritmo deve essere o la ii) o la iii) specificate poc'anzi, altrimenti in caso contrario non scriverla esplicitamente è criminale...
Dal contesto ho inteso che la base del logaritmo in questione fosse $b = e $, cioè che per $log $ fosse inteso $ln $ (per evitare qualsiasi fraintendimento adottando la convenzione ISO personalmente avrei scritto proprio $ln$, che è anche più breve da scrivere, ma tant'è... )
"Bokonon":
La base 3 rende il log più piccolo.
E' solo una sensazione ma mi pare più elegante.
"Bokonon":
Probabilmente è un logaritmo in base 3
Il logaritmi in base 3 "non esistono": o meglio esistono come definizione matematica dato che come sapete $log_b a = x \iff b^x = a $ e la base $b$ del logaritmo può essere $0 < b < 1 $ oppure $b > 1 $, ma di fatto le basi dei logaritmi che si usano nella pratica sono solo 3:
i) $b = 2 $: Informatica, Telecomunicazioni, etc.;
ii) $b = e $: molto comodo in Analisi Matematica ed in svariati altri campi;
iii) $b = 10 $: Astronomia/Astrofisica, Chimica, Fisica delle particelle, etc.
Qualsiasi altra base di un logaritmo si può ottenere da quelle in base $e$ ed in base $10$ con la formula del cambiamento di base che conoscete benissimo quindi non sto a tediarvi: non è un caso che nelle calcolatrici scientifiche tascabili compaiano solo $ln $ (cioè $log_e $) e $log$ (cioè $log_10 $).
Per evitare fraintendimenti personalmente adotto la convenzione ISO, ma comunque sia quando si vede un logaritmo senza che sia specificata la base come nel caso della disuguaglianza proposta da Salv8 può venire il dubbio, ma la base del logaritmo deve essere o la ii) o la iii) specificate poc'anzi, altrimenti in caso contrario non scriverla esplicitamente è criminale...
Dal contesto ho inteso che la base del logaritmo in questione fosse $b = e $, cioè che per $log $ fosse inteso $ln $ (per evitare qualsiasi fraintendimento adottando la convenzione ISO personalmente avrei scritto proprio $ln$, che è anche più breve da scrivere, ma tant'è...
)
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