Provare l'uguaglianza

[lucatrix]

Vorrei la conferma sul procedimento. L'esercizio mi chiede di calcolarmi l'uguaglianza

$ sum_(k = 1)^(n) k^2/(4k^2-1)=(n(n+1))/(2(2n+1)) $

prima di tutto mi sono calcolato se è vera per n=1, cioè:

$ 1^2/(4-1) = (1(1+1))/(2(2+1)) rarr 1/3 = 1/3 $

e risulta verificata. Quindi provo se è anche vera per (n+1):

$ sum_(k = 1)^(n+1) k^2/(4k^2-1) = sum_(k = 1)^(n) k^2/(4k^2-1) + (n+1)^2/(4(n+1)-1) = (n(n+1))/(2(2n+1)) + (n+1)^2/(4(n+1)^2-1) = (n^2+n)/(4n+2) + (n^2+2n+1)/(4n^2+8n+3) = (n^2+3n+2)/(2(2n+3)) = ((n+1)(n+2))/(2(2n+3)) $

l'esercizio dovrebbe finire qui da come ho visto su esercizi simili su internet, ma non capisco come faccio a stabilire se è verificata anche per (n+1)?

[hee136]

Come hai scritto tu nel titolo devi provare un'uguaglianza.
Col procedimento sopra hai calcolato il primo membro di quest'uguaglianza per (n+1), cosa ti manca ora?

[lucatrix]

debbo vedere se $ ((n+1)(n+2))/(2(2n+3))=(n(n+1))/(2(2n+1)) $ ponendo n=1? se è così risulta $3/5=1/3$ che non è vera.

[mgiaff]

Il procedimento è corretto.

Provo a riscriverti l'idea inserendo una variabile $t$ che forse aiuta a capire meglio.
La dimostrazione è per induzione. Prima l'hai provata per $n=1$, poi fai il passo induttivo. Assumi che valga per $n=t$ e dimostri che vale per $n=t+1$.
Per $t+1$ hai ottenuto esattamente quello che otterresti sostituendo $t+1$ nella tesi. CVD.

[lucatrix]

Capito. Grazie mille.