Provare limitatezza del supporto.
Sto studiando il calcolo integrale in più variabili sul libro Analisi matematica 2 di Giusti.
L'autore prima di enunciare la definizione di integrabilità di una funzione $f$, introduce il supporto di una funziona, dove ricordo $\text{supp}(f)=\overline{\{\mathbf{x} \in Y \ :\ f(\mathbf{x})\ne 0\}}$.
Viene fatto osservare che il supporto è un insieme chiuso, infatti, esso è la chiusura dell'insieme dei punti di $RR^n$ che la loro immagine secondo $f$ è non nulla,quindi è un chiuso, poi viene fatto osservare che se è anche limitato, cioè se la funzione vale zero $0$ fuori di un insieme limitato, allora $\text{supp}(f)$ è un compatto.
Il mio dubbio riguarda l'osservazione sottolineata, la quale la formula così
Sia $f:Y\subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$, e $X\subseteq Y$ limitato. Se $f(\mathbf{x})=0$ con $\mathbf{x} \in Y\setminus X$ allora il $\text{supp}(f)$ è limitato.
Per verificare che il $\text{supp}(f)$ è limitato, devo verificare che
\[\mathbf{x_0} \in Y \ \exists\ r>0\ :\ \text{supp}(f)\subseteq I(\mathbf{x_0},r)\]
Si possono presentare due casi, secondo ché il punto ${x_0} \in X$, oppure $\mathbf{x_0} \in Y\setminus X$.
Sia $\mathbf{x_0} \in X$, si ha allora $f(\mathbf{x_0})\ne 0$, e $\mathbf{x_0} \in \text{supp}(f)$.
Posto $\bar{r}=\text{max}\{||\mathbf{x_0-x}|| \ \ : \ \mathbf{x} \in\text{supp}(f)\}$, quindi, sia $r=\bar{r}+\epsilon$, con $\epsilon>0$.
Risulta che per ogni $\mathbf{x} \in \text{supp}(f)$, si ha $||\mathbf{x-x_0}||
Sia $\mathbf{x_0} \in Y\setminus X$, si ha allora $f(\mathbf{x_0})=0$, pertanto $\mathbf{x_0} \notin \text{supp}(f)$, e $ \mathbf{x} \ne \mathbf{x_0}$, $\forall \mathbf{x} \in\text{supp}(f)$, quindi $||\mathbf{x-x_0}||>0$.
Posto $\bar{r}=\text{max}\{||\mathbf{x_0-x}|| \ \ : \ \mathbf{x} \in \text{supp}(f)\}$, quindi, sia $r=\bar{r}+\epsilon$, con $\epsilon>0$.
Risulta che per ogni $\mathbf{x} \in \text{supp}(f)$, si ha $||\mathbf{x-x_0}||
Va bene ?
L'autore prima di enunciare la definizione di integrabilità di una funzione $f$, introduce il supporto di una funziona, dove ricordo $\text{supp}(f)=\overline{\{\mathbf{x} \in Y \ :\ f(\mathbf{x})\ne 0\}}$.
Viene fatto osservare che il supporto è un insieme chiuso, infatti, esso è la chiusura dell'insieme dei punti di $RR^n$ che la loro immagine secondo $f$ è non nulla,quindi è un chiuso, poi viene fatto osservare che se è anche limitato, cioè se la funzione vale zero $0$ fuori di un insieme limitato, allora $\text{supp}(f)$ è un compatto.
Il mio dubbio riguarda l'osservazione sottolineata, la quale la formula così
Sia $f:Y\subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$, e $X\subseteq Y$ limitato. Se $f(\mathbf{x})=0$ con $\mathbf{x} \in Y\setminus X$ allora il $\text{supp}(f)$ è limitato.
Per verificare che il $\text{supp}(f)$ è limitato, devo verificare che
\[\mathbf{x_0} \in Y \ \exists\ r>0\ :\ \text{supp}(f)\subseteq I(\mathbf{x_0},r)\]
Si possono presentare due casi, secondo ché il punto ${x_0} \in X$, oppure $\mathbf{x_0} \in Y\setminus X$.
Sia $\mathbf{x_0} \in X$, si ha allora $f(\mathbf{x_0})\ne 0$, e $\mathbf{x_0} \in \text{supp}(f)$.
Posto $\bar{r}=\text{max}\{||\mathbf{x_0-x}|| \ \ : \ \mathbf{x} \in\text{supp}(f)\}$, quindi, sia $r=\bar{r}+\epsilon$, con $\epsilon>0$.
Risulta che per ogni $\mathbf{x} \in \text{supp}(f)$, si ha $||\mathbf{x-x_0}||
Sia $\mathbf{x_0} \in Y\setminus X$, si ha allora $f(\mathbf{x_0})=0$, pertanto $\mathbf{x_0} \notin \text{supp}(f)$, e $ \mathbf{x} \ne \mathbf{x_0}$, $\forall \mathbf{x} \in\text{supp}(f)$, quindi $||\mathbf{x-x_0}||>0$.
Posto $\bar{r}=\text{max}\{||\mathbf{x_0-x}|| \ \ : \ \mathbf{x} \in \text{supp}(f)\}$, quindi, sia $r=\bar{r}+\epsilon$, con $\epsilon>0$.
Risulta che per ogni $\mathbf{x} \in \text{supp}(f)$, si ha $||\mathbf{x-x_0}||
Va bene ?
Risposte
Il supporto di $f$ è limitato perché è contenuto in $X$, che è limitato.
Uuuuu sii 
grazie @Martino
grazie @Martino
"Martino":
Il supporto di $f$ è limitato perché è contenuto in $X$, che è limitato.
Scusa Martino, forse mi confondo, ma non è il contrario? $X$ è contenuto nel supporto.
$X$ è l'insieme su cui $f(x)\ne 0$. Se $X$ è chiuso, $X$ è il supporto, se $X$ non è chiuso, la sua chiusura è il supporto, e quindi è contenuto nel supporto.
Penso che la affermazione che compa90 vuole dimostrare equivale al fatto che la chiusura di un insieme limitato è limitata.
Sì Gabriella hai ragione, ho dimenticato la chiusura. Quindi come dici il punto è proprio dimostrare che la chiusura di un insieme limitato è limitata. Questo è abbastanza facile, direi.
Cioè sappiamo che ${x in Y\ |\ f(x) ne 0}$ è contenuto in $X$, quindi è limitato. Bisogna argomentare che la sua chiusura è limitata.
Cioè sappiamo che ${x in Y\ |\ f(x) ne 0}$ è contenuto in $X$, quindi è limitato. Bisogna argomentare che la sua chiusura è limitata.
Provo cosi
Sia $A$ sottoinsieme limitato di uno spazio metrico $(X,d)$. Risulta che $\bar{A}$ è limitato.
Ricordo che un $A$ sottoinsieme di uno spazio metrico $(X,d)$ si dice limitato se esiste una costante reale $M$ tale che \[d(a,b) \le M, \ \ \forall a ,b \in A \] Per la chiusura vale la seguente relazione $\bar{A}=A\cup D(A)$, cioè la chiusura coincide con l'unione di $A$ e del suo derivato.
Siano $a,b \in \bar{A}$, si ha allora $d(a,b)\le L$ se $a,b, \in A$, dove $L$ è tale $d(a,b) \le L\ \forall a,b \in A$, oppure $a,b \in D(A)$ in tal caso \[ \forall \ r_1>0\ \ B(a,r_1)-\{a\} \cap A \ne \emptyset, \ \quad \forall \ r_2>0\ \ B(b,r_2)-\{b\} \cap A \ne \emptyset \]
Posto $r=\text{min}\{r_1,r_2\}$, esiste allora un $x \in A$ diverso da $a$, e da $b$ e che appartiene agli intorni $ B(a,r), B(b,r) $, per cui vale \[ d(a,b)\le d(a,x)+d(b,x)<2r\]
Preso $M:=\text{max}\{L,r\}$, risulta $d(a,b)\le M, \ \forall\ a, b \in \bar{A}.$
Va bene ?
Sia $A$ sottoinsieme limitato di uno spazio metrico $(X,d)$. Risulta che $\bar{A}$ è limitato.
Ricordo che un $A$ sottoinsieme di uno spazio metrico $(X,d)$ si dice limitato se esiste una costante reale $M$ tale che \[d(a,b) \le M, \ \ \forall a ,b \in A \] Per la chiusura vale la seguente relazione $\bar{A}=A\cup D(A)$, cioè la chiusura coincide con l'unione di $A$ e del suo derivato.
Siano $a,b \in \bar{A}$, si ha allora $d(a,b)\le L$ se $a,b, \in A$, dove $L$ è tale $d(a,b) \le L\ \forall a,b \in A$, oppure $a,b \in D(A)$ in tal caso \[ \forall \ r_1>0\ \ B(a,r_1)-\{a\} \cap A \ne \emptyset, \ \quad \forall \ r_2>0\ \ B(b,r_2)-\{b\} \cap A \ne \emptyset \]
Posto $r=\text{min}\{r_1,r_2\}$, esiste allora un $x \in A$ diverso da $a$, e da $b$ e che appartiene agli intorni $ B(a,r), B(b,r) $, per cui vale \[ d(a,b)\le d(a,x)+d(b,x)<2r\]
Preso $M:=\text{max}\{L,r\}$, risulta $d(a,b)\le M, \ \forall\ a, b \in \bar{A}.$
Va bene ?
"compa90":
Provo cosi
Siano $a,b \in \bar{A}$, si ha allora $d(a,b)\le L$ se $a,b, \in A$, dove $L$ è tale $d(a,b) \le L\ \forall a,b \in A$, oppure $a,b \in D(A)$ in tal caso \[ \forall \ r_1>0\ \ B(a,r_1)-\{a\} \cap A \ne \emptyset, \ \quad \forall \ r_2>0\ \ B(b,r_2)-\{b\} \cap A \ne \emptyset \]
Posto $r=\text{min}\{r_1,r_2\}$, esiste allora un $x \in A$ diverso da $a$, e da $b$ e che appartiene agli intorni $ B(a,r), B(b,r) $, per cui vale \[ d(a,b)\le d(a,x)+d(b,x)<2r\]
L'idea di farlo con le distanze e la disuguaglianza triangolare era venuta anche a me, però non capisco dove dici: "Posto $r=\text{min}\{r_1,r_2\}$". Non significa molto, perché $r_1$ e $r_2$ non sono numeri fissati, c'è il 'per ogni' davanti. Il minimo di che?
@gabriella127 si hai ragione.
Quindi, fissato $r$ positivo, esiste comunque un punto $x$ di $A$ che è diverso da $a,b$ e che appartiene agli intorni, perché $a,b$ sono di accumulazione.
Poi dovrebbe continuare nello stesso modo.
Cosa ne pensi?
Quindi, fissato $r$ positivo, esiste comunque un punto $x$ di $A$ che è diverso da $a,b$ e che appartiene agli intorni, perché $a,b$ sono di accumulazione.
Poi dovrebbe continuare nello stesso modo.
Cosa ne pensi?
"compa90":
Siano $a,b \in \bar{A}$, si ha allora $d(a,b)\le L$ se $a,b, \in A$, dove $L$ è tale $d(a,b) \le L\ \forall a,b \in A$, oppure $a,b \in D(A)$
In questa frase ci sono diversi problemi. Primo, se fissi $a,b$ poi non puoi scrivere "$AA a,b in A$", cioè "per ogni $a,b in A$", perché $a,b$ li hai fissati. Inoltre dici che o $a,b in A$ oppure $a,b in D(A)$, ma questo non è vero, ci sono altri due casi da considerare: (1) $a in A, b in D(A)$ e (2) $a in D(A), b in A$.
"compa90":
Quindi, fissato $ r $ positivo, esiste comunque un punto $ x $ di $ A $ che è diverso da $ a,b $ e che appartiene agli intorni, perché $ a,b $ sono di accumulazione.
Cosa ne pensi?
Stai dicendo che $x$ deve appartenere sia a un intorno di $a$ che a un intorno di $b$? E quindi che $r$ prendi? Un $r$ gigante? Mi sembra un po' contorto, non mi è chiaro.
Io farei come suggerisce Martino, distinguendo i vari casi a seconda se $a$ e $b$ appartengono a $A$ o a $D(A)$.
E usando, oltre alla disuguaglianza triangolare, la definizione di punto di accumulazione.
Riporto exnovo dimostrazione.
Siano $\bar{a}, \bar{b} \in \bar{A}$, si possono presentare quattro casi
1) $\bar{a}, \bar{b} \in A$, allora $d(\bar{a}, \bar{b} )\le L$, infatti, per ipotesi $A$ è limitato, pertanto \[d(a,b) \le L\ \ \forall\ a,b \in A\] quindi, è vero anche per $\bar{a}, \bar{b}$, cioè $d(\bar{a}, \bar{b} )\le L$
2) $\bar{a}, \bar{b} \in D(A)$, per definizione di punto di accumulazione
\[ \forall \ r_1>0\ \ B(\bar{a},r_1)-\{\bar{a}\} \cap A \ne \emptyset, \ \quad \forall \ r_2>0\ \ B(\bar{b},r_2)-\{\bar{b}\} \cap A \ne \emptyset \]
allora esistono $x,y \in A \ : \ x\ne\bar{a}, \ y\ne \bar{b}$ e che appartengono $ B(\bar{a},r_1), B(\bar{b},r_2) $ rispettivamente, pertanto
\begin{equation}
\begin{split}
d(\bar{a},\bar{b}) & \le d(\bar{a},x)+d(x,\bar{b}) \ \quad\quad\quad \text{disg. triang} \\
& < r_1+d(x,\bar{b}) \ \quad \quad \quad\quad\quad x \in B(\bar{a},r_1)\\
& \le r_1+d(x,y)+d(y,\bar{b})\ \quad \text{disg. triang} \\
& < r_1 +L+r_2 \ \quad \quad \quad\quad\quad y \in B(\bar{b},r_2), A \ \text{Limitato}\\
\end{split}
\end{equation}
3) $ \bar{a}\in A, \ \bar{b} \in D(A)$, allora
\[d(\bar{a},b)\le L, \ \forall \ b \in A\]
\[ \forall \ r>0\ \ B(\bar{b},r)-\{\bar{b}\} \cap A \ne \emptyset\]
quindi, esiste un $x \in A\ :\ x\ne \bar{b}$, e che appartiene $ B(\bar{b},r)$, pertanto
\begin{equation}
\begin{split}
d(\bar{a},\bar{b}) & \le d(\bar{a},x)+d(x,\bar{b}) \ \quad\quad\quad \text{disg. triang} \\
& < L+r \ \quad \quad \quad\quad\quad\quad\quad \ A \ \text{Limitato}, \ x \in B(\bar{b},r)\\
\end{split}
\end{equation}
4) $ \bar{a}\in D(A), \ \bar{b} \in A$ simile al caso 3)
Va bene ?
Siano $\bar{a}, \bar{b} \in \bar{A}$, si possono presentare quattro casi
1) $\bar{a}, \bar{b} \in A$, allora $d(\bar{a}, \bar{b} )\le L$, infatti, per ipotesi $A$ è limitato, pertanto \[d(a,b) \le L\ \ \forall\ a,b \in A\] quindi, è vero anche per $\bar{a}, \bar{b}$, cioè $d(\bar{a}, \bar{b} )\le L$
2) $\bar{a}, \bar{b} \in D(A)$, per definizione di punto di accumulazione
\[ \forall \ r_1>0\ \ B(\bar{a},r_1)-\{\bar{a}\} \cap A \ne \emptyset, \ \quad \forall \ r_2>0\ \ B(\bar{b},r_2)-\{\bar{b}\} \cap A \ne \emptyset \]
allora esistono $x,y \in A \ : \ x\ne\bar{a}, \ y\ne \bar{b}$ e che appartengono $ B(\bar{a},r_1), B(\bar{b},r_2) $ rispettivamente, pertanto
\begin{equation}
\begin{split}
d(\bar{a},\bar{b}) & \le d(\bar{a},x)+d(x,\bar{b}) \ \quad\quad\quad \text{disg. triang} \\
& < r_1+d(x,\bar{b}) \ \quad \quad \quad\quad\quad x \in B(\bar{a},r_1)\\
& \le r_1+d(x,y)+d(y,\bar{b})\ \quad \text{disg. triang} \\
& < r_1 +L+r_2 \ \quad \quad \quad\quad\quad y \in B(\bar{b},r_2), A \ \text{Limitato}\\
\end{split}
\end{equation}
3) $ \bar{a}\in A, \ \bar{b} \in D(A)$, allora
\[d(\bar{a},b)\le L, \ \forall \ b \in A\]
\[ \forall \ r>0\ \ B(\bar{b},r)-\{\bar{b}\} \cap A \ne \emptyset\]
quindi, esiste un $x \in A\ :\ x\ne \bar{b}$, e che appartiene $ B(\bar{b},r)$, pertanto
\begin{equation}
\begin{split}
d(\bar{a},\bar{b}) & \le d(\bar{a},x)+d(x,\bar{b}) \ \quad\quad\quad \text{disg. triang} \\
& < L+r \ \quad \quad \quad\quad\quad\quad\quad \ A \ \text{Limitato}, \ x \in B(\bar{b},r)\\
\end{split}
\end{equation}
4) $ \bar{a}\in D(A), \ \bar{b} \in A$ simile al caso 3)
Va bene ?
Sì va bene, l'unico dettaglio è che devi scegliere un $r$ specifico, per esempio $r=1$. E anche $r_1,r_2$ specifici, per esempio $r_1=r_2=1$. Questo può sembrare un dettaglio poco importante, ma non lo è, perché questa dimostrazione è semplice, e se non scegliessi questi valori in una dimostrazione più complicata ti incarteresti.
In che senso posso incartarmi, cioè, gli $r$ o $r_1,r_2$ non sono arbitrari ?
No, li devi scegliere.
Quello che hai scritto è giusto, ma nell'argomento devi scegliere dei valori specifici di $r,r_1,r_2$.
Ad esempio il caso 2) : $...$ esistono $ x,y \in A \ : \ x\ne\bar{a}, \ y\ne \bar{b} $ e che appartengono $ B(\bar{a},r_1), B(\bar{b},r_2) $
Se non fisso $r_1, r_2$, potrebbe capitare che $x,y$ appartengono ad uno stesso intorno, esempio $B(\bar{a},r_1)$, quindi, non sarebbe più valida questa
\[ \begin{equation} \begin{split} d(\bar{a},\bar{b}) & \le d(\bar{a},x)+d(x,\bar{b}) \ \quad\quad\quad \text{disg. triang} \\ & < r_1+d(x,\bar{b}) \ \quad \quad \quad\quad\quad x \in B(\bar{a},r_1)\\ & \le r_1+d(x,y)+d(y,\bar{b})\ \quad \text{disg. triang} \\ & < r_1 +L+r_2 \ \quad \quad \quad\quad\quad y \in B(\bar{b},r_2), A \ \text{Limitato}\\ \end{split} \end{equation} \] ?
Se non fisso $r_1, r_2$, potrebbe capitare che $x,y$ appartengono ad uno stesso intorno, esempio $B(\bar{a},r_1)$, quindi, non sarebbe più valida questa
\[ \begin{equation} \begin{split} d(\bar{a},\bar{b}) & \le d(\bar{a},x)+d(x,\bar{b}) \ \quad\quad\quad \text{disg. triang} \\ & < r_1+d(x,\bar{b}) \ \quad \quad \quad\quad\quad x \in B(\bar{a},r_1)\\ & \le r_1+d(x,y)+d(y,\bar{b})\ \quad \text{disg. triang} \\ & < r_1 +L+r_2 \ \quad \quad \quad\quad\quad y \in B(\bar{b},r_2), A \ \text{Limitato}\\ \end{split} \end{equation} \] ?
No no, quello che avevi scritto prima va bene. Ma ti sto dicendo che sarebbe più corretto scegliere i valori di $r,r_1,r_2$. Se li lasci indeterminati può andare, ma non è il massimo. Il punto è che la differenza non la vedi ai fatti perché l'esercizio è molto semplice. Ma se l'esercizio fosse più complesso si capirebbe meglio l'importanza di scegliere i valori.
Quindi la tua soluzione va bene, ma è meglio scegliere quei valori. Ok?
Quindi la tua soluzione va bene, ma è meglio scegliere quei valori. Ok?
Ok grazie 
Questa "strategia" di scegliere, l'ho incontrata anche in altri teoremi, in particolare quelli di analisi matematica; quindi, ti voglio chiedere: quando vengono fatte queste tipo di posizioni ci sta una regoletta generale per interpretarle ?
Questa "strategia" di scegliere, l'ho incontrata anche in altri teoremi, in particolare quelli di analisi matematica; quindi, ti voglio chiedere: quando vengono fatte queste tipo di posizioni ci sta una regoletta generale per interpretarle ?
Non ci sono regolette, il punto è che quello che scrivi dev'essere logicamente corretto.
La mia impressione è che tu abbia delle difficoltà ad interpretare i quantificatori ("esiste" e "per ogni"). In generale leggendo quello che scrivi si percepisce che non li hai capiti a fondo.
Per capire cosa sto dicendo, puoi provare a dimostrare che se $f,g$ sono funzioni reali e $lim_(x to a) f(x) = l$, $lim_(x to a) g(x) = t$ allora $lim_(x to a) (f(x)+g(x)) = l+t$ (usando la definizione "epsilon-delta" dei limiti).
La mia impressione è che tu abbia delle difficoltà ad interpretare i quantificatori ("esiste" e "per ogni"). In generale leggendo quello che scrivi si percepisce che non li hai capiti a fondo.
Per capire cosa sto dicendo, puoi provare a dimostrare che se $f,g$ sono funzioni reali e $lim_(x to a) f(x) = l$, $lim_(x to a) g(x) = t$ allora $lim_(x to a) (f(x)+g(x)) = l+t$ (usando la definizione "epsilon-delta" dei limiti).
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