Provare la seguente disuguaglianza

[Nicholas_ASR]

Devo provare $ln(1+cosx)+x^2/4 <= ln2 , -pi Ho provato a ridurre il tutto a
$4ln((1+cosx)/2)+x^2<=0$
Ma non so come andare avanti....

[Nicholas_ASR]

Nessuno sa aiutarmi? ç_ç

[Rigel1]

Considera la funzione \(f(x) = \log(1+\cos x) + x^2/2\), \(x\in (-\pi,\pi)\).
Un rapido calcolo ti mostra che
\[
f'(0) = 0,\qquad
f''(x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{1+\cos x} \leq 0\quad \forall x\in (-\pi, \pi).
\]
Di conseguenza la funzione è concava, dunque il suo grafico sta sotto la retta tangente nell'origine (che è orizzontale), cioè
\(f(x) \leq f(0) = \log 2\) per ogni \(x\in (-\pi,\pi)\).

[Nicholas_ASR]

Perché hai calcolato la derivata in zero? E non capisco nell'ultimo passaggio tu hai detto che la funzione è concava e poiché ha un punto di flesso a tangente orizzontale perché puoi dire che è minore del ln2 per ogni x appartenente a quell'intervallo?

[Rigel1]

"Nicholas_ASR":Perché hai calcolato la derivata in zero? E non capisco nell'ultimo passaggio tu hai detto che la funzione è concava e poiché ha un punto di flesso a tangente orizzontale perché puoi dire che è minore del ln2 per ogni x appartenente a quell'intervallo?

Non ha nessun flesso.
E' una funzione concava, quindi il suo grafico sta al di sotto di quello di qualsiasi retta tangente.
Prova a scrivere l'equazione della retta tangente al grafico nel punto di ascissa \(x=0\).