Provare la non olomorfia di $e^{|z|}$

[fbcyborg]

Provare, usando le condizioni di Cauchy-Riemann, che la funzione $e^|z|$ non è olomorfa in alcun aperto del piano complesso.
Ecco come ho pensato di fare io:

Se una funzione è olomorfa è derivabile in senso complesso, e se è derivabile in senso complesso allora valgono le condizioni di Cauchy-Riemann ovvero:
${\partial f }/{\partial x}=1/i{\partial f }/{\partial y}$

Allora la mia $f(z)=e^{|z|}$ diventa $f(x,y)=e^{|x+iy|}=e^{\sqrt{x^2+y^2}}$

Quindi:
${\partial f }/{\partial x}=\frac{xe^{\sqrt{x^2+y^2}}}{\sqrt{x^2+y^2}}$
e
${\partial f }/{\partial y}=\frac{ye^{\sqrt{x^2+y^2}}}{\sqrt{x^2+y^2}}$

E le condizioni di Cauchy Riemann non sono soddisfatte.. ergo non è olomorfa.

Secondo voi è giusto? Perché ho dei dubbi!

[dissonance]

Mi pare che vada bene. Tuttalpiù ci potrà essere qualche errore di calcolo. Io comunque dimostrerei questa proposizione in maniera meno diretta, usando un teorema di Liouville:

Le uniche funzioni olomorfe in un aperto di $CC$ e a valori reali sono le costanti. (La dimostrazione di questo è una facile applicazione delle condizioni di Cauchy-Riemann).

E osserviamo subito che $e^(|z|)$ è una funzione a valori reali (pure positivi). Ma non è costante in nessun aperto, ergo non è neanche olomorfa.

[fbcyborg]

Il teorema di Liouville non lo conosco e non è in programma, quindi devo per forza fare così.

Comunque grazie per la conferma!

Alla prox!

[gugo82]

Oppure, visto che $"e"^(|z|)="e"^(\sqrt(z*\bar(z)))$ e che perciò risulta $(\partial )/(\partial \bar(z))["e"^(|z|)]!=0$*, la $e^(|z|)$ non è olomorfa.

__________
* La condizione $(partial f)/(\partial \bar(z)) =0$ equivale alle condizioni di Cauchy-Riemann; quindi $f$ è olomorfa in un aperto connesso se e solo se $(partial f)/(\partial \bar(z)) =0$.