Provare disequazione con Lagrange

[absurd00]

Questo è un esercizio un po strano, non ne ho mai trovato uno del genere prima d'ora.
Con il Teorema di Lagrange, e ricordando che ln(1)=0, devo provare che per x maggiore o uguale a 1, vale la disequazione

ln(x) <= x - 1.

Ma come si fa ad applicare Lagrange ad una disequazione? Grazie a chi mi risponderà

[blackbishop13]

prova a risolverlo senza pensare ad usare il teorema di Lagrange, come faresti?

[absurd00]

La disequazione potrebbe diventare

x <= e^(x-1)

Ma io devo comunque risolverlo con Lagrange

[emmeffe90]

"absurd00":Con il Teorema di Lagrange, e ricordando che ln(1)=0, devo provare che per x maggiore o uguale a 1, vale la disequazione

ln(x) <= x - 1.

Ma come si fa ad applicare Lagrange ad una disequazione? Grazie a chi mi risponderà

Comincia col portare tutto a primo membro: $ln(x)-x+1<=0$. Ora considera la funzione $f(x)=ln(x)-x+1$. Devi dimostrare che è minore di 0 per $x>=1$

[K.Lomax]

Io farei così:

Sia [tex]x_0\in (1, x)[/tex] con [tex]x>1[/tex], per il teorema di Lagrange:

[tex]\log'(x_0)=\frac{\log(x)-\log(1)}{x-1}[/tex]

ovvero

[tex]\log(x)=\log'(x_0)(x-1)[/tex]

ed essendo [tex]\log'(x_0)<1\text{ }\forall x_0>1[/tex], l'asserto.