Provare che una funzione è differenziabile in tutto R^2

[borto97]

Ciao, ho un problema con questo esercizio. Sia $f: \mathbb{R}^2 \to mathbb{R}$ la seguente funzione: $f(x,y) = x^{2}y^{2}sin(\frac{1}{xy})$ se $xy \ne 0$ e 0 se $xy = 0$. Provare che $f$ è differenziabile in ogni punto di $\mathbb{R}^{2}$ ma non è di classe $C^{1}(\mathbb{R}^2)$.

Dunque, per vedere se $f$ è differenziabile in un punto dovrei calcolare le derivate parziali, vedere che in quel punto si annullano (quindi che il gradiente è 0) e fare il test della differenziabilità, cioè verificare che il limite

$\lim_{x\rightarrow x_0} \frac{f(x) - f(x_{0}) - \langle \grad f(x_{0}), x - x_{0} \rangle}[|x-x_{0}|} = 0$

Ora, dato che devo verificare questo per ogni punto, mi verrebbero dei conti abbastanza lunghi da fare, tutti tenendo $x_{0}$ e $y_{0}$, quindi mi chiedevo se c'è un modo più veloce per dimostrare che è differenziabile per ogni punto.

Per quanto riguarda il secondo punto, è giusto se faccio il "test della retta", cioè vedo se il limite delle derivate è 0 ponendo $y = mx$ ?

Grazie a tutti

[Studente Anonimo]

Per quanto riguarda la continuità, poiché la funzione gode di molteplici simmetrie:

1. Simmetrica rispetto all'origine.

2. Simmetrica rispetto alle bisettrici.

3. Antisimmetrica rispetto agli assi.

puoi limitare lo studio al primo ottante:

$[x gt= 0] ^^[y gt= 0] ^^ [y lt= x]$

e svolgere, nell'ordine sottostante, solo i seguenti limiti:

1. $[lim_((x,y)->(x_0,0))x^2y^2sin(1/(xy))] ^^ [x_0 gt 0]$

2. $[lim_((x,y)->(0,0))x^2y^2sin(1/(xy))]$

[borto97]

Scusa ma per verificare che la funzione non è di classe $C^1$ non devo vedere se le derivate sono continue? Perché te suggerisci di fare i limiti della funzione?

P.S. Cos'è il primo ortante?

[Studente Anonimo]

Il primo ottante (ho corretto) è l'insieme sottostante, insomma, il primo ottavo del piano cartesiano:

$[x gt= 0] ^^[y gt= 0] ^^ [y lt= x]$

Inoltre, poiché il testo dell'esercizio afferma che la funzione non è di classe $C^1$, per cominciare volevo semplicemente dimostrare che la funzione è almeno continua. Ovviamente, se hai già dimostrato che è differenziabile, non è necessario. Ad ogni modo, le considerazioni del mio primo messaggio possono semplificare il procedimento anche nello studio della differenziabilità.

Calcolo delle derivate parziali

$[x_0 gt= 0] rarr [(delf)/(delx)(x_0,0)=lim_(h->0)(f(x_0+h,0)-f(x_0,0))/h=lim_(h->0)(0-0)/h=0]$

$[x_0 gt 0] rarr [(delf)/(dely)(x_0,0)=lim_(h->0)(f(x_0,0+h)-f(x_0,0))/h=lim_(h->0)(x_0^2h^2sin(1/(x_0h))-0)/h=0]$

$[x_0 = 0] rarr [(delf)/(dely)(0,0)=lim_(h->0)(f(0,0+h)-f(0,0))/h=lim_(h->0)(0-0)/h=0]$

Differenziabilità

$[x_0 gt= 0] rarr [lim_((h,k)->(0,0))(f(x_0+h,0+k)-f(x_0,0))/sqrt(h^2+k^2)=lim_((h,k)->(0,0))(k^2(x_0+h)^2sin(1/(k(x_0+h))))/sqrt(h^2+k^2)]$

$[|k| lt= sqrt(h^2+k^2)] ^^ [|sin(1/(k(x_0+h)))| lt= 1] rarr [|(k^2(x_0+h)^2sin(1/(k(x_0+h))))/sqrt(h^2+k^2)| lt= |k|(x_0+h)^2 rarr 0]$

Per quanto riguarda il secondo punto:

$[x ne 0] ^^ [y ne 0] rarr [(delf)/(dely)=2x^2ysin(1/(xy))-xcos(1/(xy))] rarr [not EE lim_((x,y)->(x_0,0))(delf)/(dely)]$

(nel caso in cui $[x_0 gt 0]$, basta restringersi alla retta $[x=x_0]$). Tuttavia, la funzione è $C^1$ nell'origine:

$[|(delf)/(delx)|=|2xy^2sin(1/(xy))-ycos(1/(xy))| lt= 2|x|y^2+|y| rarr 0]$

$[|(delf)/(dely)|=|2x^2ysin(1/(xy))-xcos(1/(xy))| lt= 2x^2|y|+|x| rarr 0]$

[Ernesto011]

Per la parte $Omega={(x,y)|x,y!=0}$ puoi applicare il teorema del differenziale totale, troverai infatti un intorno di ogni punto in cui esistono le derivate parziali e sono anche continue (segue banalmente da come hai definito la funzione in $Omega$).
Ora ti rimangono due rette, però i calcoli vengono semplificati dal fatto che almeno una coordinata è nulla.
E come ti ha fatto notare l'utente precedente,per simmetria, potresti anche limitarti a studiare solo il caso $Gamma={(x,y)|x>=0,y=0}$ (con dovuta attenzione nell'origine, magari dividi in 2 casi).

[borto97]

Grazie mille, ora ho capito in che senso può semplificare le cose fare quelle considerazioni iniziali. Giusto per essere chiari, hai analizzato tutti i punti del tipo ($x_0, 0$) perché sfruttando la simmetria si otterranno analoghi risultati per i punti ($0, y_0$)? E perché non consideriamo invece un punto ($x_0, y_0$) dove sia $x_0$ che $y_0$ sono maggiori di 0? Forse è una domanda stupida, ma non capisco ancora perché studiando ($x_0, 0$) (e per simmetria ($0,y_0$)) copriamo anche il caso ($x_0,y_0$) Forse si ricollega all'affermazione di Ernesto

Per la parte Ω={(x,y)∣x,y≠0} puoi applicare il teorema del differenziale totale, troverai infatti un intorno di ogni punto in cui esistono le derivate parziali e sono anche continue (segue banalmente da come hai definito la funzione in Ω).

Sergente, ho alcuni dubbi sulla notazione che usi, o meglio, su quella che hanno insegnato ad usare a me, perché vedo che tutti utilizzano la tua. Ti spiego: per il test della differenziabilità tu usi il limite

$\lim_{(h,k) \to (0,0)} \frac{f(x_0 + h,y_0 +k) - f(x_0,y_0) - hf_x(x_0,y_0) - kf_y(x_0,y_0)}{\sqrt(h^2+k^2)}$

mentre a me hanno insegnato ad utilizzare

$\lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} \frac{f(x,y) - f(x_0,y_0) - \langle \grad f(x_0,y_0), (x,y)-(x_0,y_0)\rangle}{|(x,y)-(x_0,y_0)|}$

Sicuramente qualcosa di diverso c'è...

[Studente Anonimo]

"shot22":
Giusto per essere chiari ...

Ok.

"shot22":
Forse si ricollega all'affermazione di Ernesto ...

Ok.

"shot22":
Sicuramente qualcosa di diverso c'è ...

Solo le variabili rispetto alle quali si calcola il limite. Come per le funzioni di una variabile:

$[(df)/(dx)(x_0)=lim_(h->0)(f(x_0+h)-f(x_0))/h] vv [(df)/(dx)(x_0)=lim_(x->x_0)(f(x)-f(x_0))/(x-x_0)]$

[borto97]

Solo le variabili rispetto alle quali si calcola il limite.

Ah quindi le due scritture sono equivalenti