Provare che sia strettamente crescente, tuttavia...
Salve a tutti!
L'esercizio è questo.
Data la funzione $f(x)=(e^x-x-1)/x$
a) Si provi che essa è estendibile per continuità ad una funzione definita su tutto $R$
b) Si provi che l'estensione di cui al punto precedente è strettamente crescente su tutto $R$
Ho risolto questo esercizio ma ho qualche dubbio riguardante lo studio del segno della derivata prima.
Infatti $f'(x)=[e^x(x-1)+1]/x^2>0$ sostanzialmente risulta crescente per $x>1$ e negativa per $x<1$, quindi dovrebbe essere crescente da una parte e decrescente dall'altra..cosa sto sbagliando?
L'esercizio è questo.
Data la funzione $f(x)=(e^x-x-1)/x$
a) Si provi che essa è estendibile per continuità ad una funzione definita su tutto $R$
b) Si provi che l'estensione di cui al punto precedente è strettamente crescente su tutto $R$
Ho risolto questo esercizio ma ho qualche dubbio riguardante lo studio del segno della derivata prima.
Infatti $f'(x)=[e^x(x-1)+1]/x^2>0$ sostanzialmente risulta crescente per $x>1$ e negativa per $x<1$, quindi dovrebbe essere crescente da una parte e decrescente dall'altra..cosa sto sbagliando?
Risposte
"BlackCrow_ita":
Infatti $f'(x)=[e^x(x-1)+1]/x^2>0$ sostanzialmente risulta crescente per $x>1$ e negativa per $x<1$
Qui volevi dire "positiva" anziché crescente. Perché dici che $f'$ è negativa per $x<1$?
Perché il den è sempre positivo, uno non si discute e nemmeno l’esponenziale in quanto sempre maggiore di 0. Ciò che resta da valutare è $(x-1)>0$
Ciao BlackCrow_ita,
Eh no, la funzione proposta $ f(x)=(e^x-x-1)/x = (e^x-1)/x - 1 $ è evidentemente definita in $D = (-\infty, 0)\cup (0, +\infty) $. Per il punto a) si vede subito per un noto limite notevole: la funzione così estesa per continuità passa per ill punto $O(0,0) $ e la sua derivata è sempre positiva, sicché la funzione è sempre crescente.
Eh no, la funzione proposta $ f(x)=(e^x-x-1)/x = (e^x-1)/x - 1 $ è evidentemente definita in $D = (-\infty, 0)\cup (0, +\infty) $. Per il punto a) si vede subito per un noto limite notevole: la funzione così estesa per continuità passa per ill punto $O(0,0) $ e la sua derivata è sempre positiva, sicché la funzione è sempre crescente.
Intanto ringrazio anche te Pilloeffe, siete molto gentili e preparati. Sono una persona molto curiosa e sopratutto che pone molte domande quindi penso tu possa trovarmi spesso qui da ora in poi. Ciò detto, condivido la tua osservazione, tanto è vero che anche io ho lo svolto nel medesimo modo e difatti è anche piuttosto semplice come esercizio. Ciò però che mi genera qualche perplessità è lo studio del segno della derivata prima. Potresti spiegarmi cosa ti fa dire che sia sempre strettamente crescente?
"BlackCrow_ita":
Potresti spiegarmi cosa ti fa dire che sia sempre strettamente crescente?
Che _cosa_ sia strettamente crescente?
La funzione in questione, ossia dallo studio del segno della derivata prima.
"BlackCrow_ita":Questa quantità è sempre maggiore o uguale a zero, prova a dimostrarlo.
$e^x(x-1)+1$
"BlackCrow_ita":
Perché il den è sempre positivo, uno non si discute e nemmeno l’esponenziale in quanto sempre maggiore di 0. Ciò che resta da valutare è $(x-1)>0$
Questo ragionamento non è corretto dal punto di vista logico. È vero ciò che dici per il denominatore e per l'esponenziale, ma al numeratore hai la somma $e^x(x-1)+1$ e non è sempre vero che una somma è positiva se e solo se gli addendi sono positivi. Infatti, se valuti il numeratore in $x=-1$ ottieni:
$$e^{-1}(-1-1)+1=-\frac{2}{e}+1>0$$
In quanto $e>2$, quindi $\frac{2}{e}<1$. E ciò è vero nonostante $e^{-1}(-1-1)<0$.
Per fare un esempio più semplice, considera $x^2+2x+1$. Ti sembra sensato dire: "Dato che $x^2 \ge 0$ e $1 \ge 0$, allora $x^2+2x+1 \ge 0$ se e solo se $2x \ge 0$"? Non lo è. Vale solo in una direzione: è vero che se $2x \ge 0$, ossia se $x \ge 0$, allora $x^2+2x+1 \ge 0$, ma quelli non sono tutti i valori di $x$ reali che rendono $x^2+2x+1 \ge 0$. Infatti, $x^2+2x+1=(x+1)^2$ e $(x+1)^2 \ge 0$ per ogni $x \in\mathbb{R}$, ed $\mathbb{R}$ contiene propriamente l'intervallo $[0,+\infty)$. In altre parole, ragionando sui singoli addendi hai trovato un sottoinsieme dell'insieme delle soluzioni della disequazione (ciò segue dalla relazione tra implicazione logica e inclusione insiemistica), ma tu vuoi trovare l'insieme delle soluzioni stesso e non solo un suo sottoinsieme (e quindi devi dimostrare una doppia implicazione logica).
Per seguire il consiglio di Martino, prova a studiare separatamente il numeratore come funzione: ossia, poni $g(x)=e^x(x-1)+1$ e studia questa funzione.
Ok si chiaro, se non ho prodotti devo operare normalmente e quindi studiarlo tutto assieme.
Quindi da $e^x>[-1/(x-1)]$ si nota che e^x è sempre maggiore di un numero negativo dunque è sempre positiva la derivata!
Quindi da $e^x>[-1/(x-1)]$ si nota che e^x è sempre maggiore di un numero negativo dunque è sempre positiva la derivata!
No. Ci sono svariati errori.
(i) Innanzitutto, $-\frac{1}{x-1}$ non è un numero ma una funzione. Inoltre, quella funzione non è sempre negativa: che succede se valuti $-\frac{1}{x-1}$ in $x=0$?
(ii) Presumo tu abbia fatto questo: $e^x(x-1)+1>0 \iff e^x(x-1)> -1$ e poi hai diviso per $x-1$. Ma $x\in\mathbb{R}$, quindi $x-1$ non è sempre positivo e perciò non puoi dividere per $x-1$ mantenendo con certezza il verso della disuguaglianza. Ricorda che devi dividere per quantità positive affinché il verso della disuguaglianza rimanga invariato, altrimenti devi invertirlo; quindi, quando dividi per quantità variabili, devi sempre discutere quando esse sono positive o negative per ottenere deduzioni corrette.
(iii) Anche se così fosse, ossia, se fosse giusto che quel numeratore è positivo se e solo se $e^x> -\frac{1}{x-1}$, c'è nuovamente un errore di logica: essere sempre maggiore di un numero negativo non implica essere positivi. Se qualcosa è sempre maggiore di $-10$, quel qualcosa è sempre positivo? No. Ad esempio, $-7> -10$ ma $-7$ non è affatto positivo. Al più, essere sempre maggiore di un numero/funzione positivo/a implica essere positivi. Quindi, anche se così fosse, non avresti potuto dedurre ciò che ti serve.
Segui il suggerimento che ti ho dato prima!
(i) Innanzitutto, $-\frac{1}{x-1}$ non è un numero ma una funzione. Inoltre, quella funzione non è sempre negativa: che succede se valuti $-\frac{1}{x-1}$ in $x=0$?
(ii) Presumo tu abbia fatto questo: $e^x(x-1)+1>0 \iff e^x(x-1)> -1$ e poi hai diviso per $x-1$. Ma $x\in\mathbb{R}$, quindi $x-1$ non è sempre positivo e perciò non puoi dividere per $x-1$ mantenendo con certezza il verso della disuguaglianza. Ricorda che devi dividere per quantità positive affinché il verso della disuguaglianza rimanga invariato, altrimenti devi invertirlo; quindi, quando dividi per quantità variabili, devi sempre discutere quando esse sono positive o negative per ottenere deduzioni corrette.
(iii) Anche se così fosse, ossia, se fosse giusto che quel numeratore è positivo se e solo se $e^x> -\frac{1}{x-1}$, c'è nuovamente un errore di logica: essere sempre maggiore di un numero negativo non implica essere positivi. Se qualcosa è sempre maggiore di $-10$, quel qualcosa è sempre positivo? No. Ad esempio, $-7> -10$ ma $-7$ non è affatto positivo. Al più, essere sempre maggiore di un numero/funzione positivo/a implica essere positivi. Quindi, anche se così fosse, non avresti potuto dedurre ciò che ti serve.
Segui il suggerimento che ti ho dato prima!
Studiando $g(x)=e^x(x-1)+1$
Si nota che
$Dom(g)=R$
Studio il comportamento agli estremi del dominio
$g(x)->+propto$ Per $x->+propto$
$g(x)->1$ Per $x->-propto$ il quale è un asintoto orizzontale sinistro.
Valuto l'intersezione con gli assi
$g(0)=1*(-1)+1=0$
Studio del segno
$g(x)>0$
$e^x(x-1)+1>0 \forall x\inR$
Questo accade sempre perché se, ad esempio, x fosse minore di 0, es $x=-2$, avremmo $-3/e^2$ e questa quantità è sempre minore di 1.
La domanda è, tralasciando questo ragionamento, c'è un'altro modo per verificarlo oppure non è risolvibile algebricamente?
Studio segno derivata prima
$g'(x)=e^x(x-1)+e^x=e^x(x)>0$
e si nota che è crescente per $g'(x)>0$ mentre decresce $g'(x)<0$
Per quanto riguarda il resto che hai detto, me ne ero completamente dimenticato. Grazie!
Si nota che
$Dom(g)=R$
Studio il comportamento agli estremi del dominio
$g(x)->+propto$ Per $x->+propto$
$g(x)->1$ Per $x->-propto$ il quale è un asintoto orizzontale sinistro.
Valuto l'intersezione con gli assi
$g(0)=1*(-1)+1=0$
Studio del segno
$g(x)>0$
$e^x(x-1)+1>0 \forall x\inR$
Questo accade sempre perché se, ad esempio, x fosse minore di 0, es $x=-2$, avremmo $-3/e^2$ e questa quantità è sempre minore di 1.
La domanda è, tralasciando questo ragionamento, c'è un'altro modo per verificarlo oppure non è risolvibile algebricamente?
Studio segno derivata prima
$g'(x)=e^x(x-1)+e^x=e^x(x)>0$
e si nota che è crescente per $g'(x)>0$ mentre decresce $g'(x)<0$
Per quanto riguarda il resto che hai detto, me ne ero completamente dimenticato. Grazie!
Prego!
Qui non ti sto seguendo. Quella è la disuguaglianza che non riuscivi a dimostrare, il ragionamento che fai a quando dici "questo accade sempre perché se, ad esempio, $x$ fosse minore di $0$, es $x=-2$, avremmo $-3/e^2$ e questa quantità è sempre minore di $1$" non dimostra nulla. Non puoi dedurre il segno di una funzione dal suo valore in un singolo punto (o almeno, non puoi dedurre nulla senza ragionamenti aggiuntivi: ad esempio, se avessi dimostrato che $g$ è sempre solo positiva o sempre solo negativa, allora basta saperne il valore in un punto per dedurne il segno dappertutto; tuttavia, non hai ancora questa informazione sul segno di $g$, e stiamo facendo tutto questo lavoro proprio per stabilire il segno di $g$!).
A parte una $x$ che ti sei dimenticato (è $g'(x)=xe^x$), ma che è palesemente un errore di battitura visto che studi il segno di $g'$ correttamente, hai praticamente concluso. Dato che $g$ è derivabile su tutto $\mathbb{R}$ e $g$ è decrescente per $x<0$ e crescente per $x>0$ con $\left[g'(x)=0\right] \iff [x=0]$, segue che $x_0=0$ è un punto di minimo assoluto per $g$. Ossia, per definizione di minimo assoluto, segue che $g(x) \ge g(0)$ per ogni $x \in \mathbb{R}$. Ma $g(0)=0$, quindi $g(x) \ge 0$ per ogni $x \in \mathbb{R}$. Questo è quello che volevi dimostrare, ossia che il numeratore di $f'$ è sempre non negativo e si annulla solamente in un punto. Quindi, $f$ è strettamente crescente su $\mathbb{R}$.
"BlackCrow_ita":
Studio del segno
$g(x)>0$
$e^x(x-1)+1>0 \forall x\inR$
Questo accade sempre perché se, ad esempio, x fosse minore di 0, es $x=-2$, avremmo $-3/e^2$ e questa quantità è sempre minore di 1.
La domanda è, tralasciando questo ragionamento, c'è un'altro modo per verificarlo oppure non è risolvibile algebricamente?
Qui non ti sto seguendo. Quella è la disuguaglianza che non riuscivi a dimostrare, il ragionamento che fai a quando dici "questo accade sempre perché se, ad esempio, $x$ fosse minore di $0$, es $x=-2$, avremmo $-3/e^2$ e questa quantità è sempre minore di $1$" non dimostra nulla. Non puoi dedurre il segno di una funzione dal suo valore in un singolo punto (o almeno, non puoi dedurre nulla senza ragionamenti aggiuntivi: ad esempio, se avessi dimostrato che $g$ è sempre solo positiva o sempre solo negativa, allora basta saperne il valore in un punto per dedurne il segno dappertutto; tuttavia, non hai ancora questa informazione sul segno di $g$, e stiamo facendo tutto questo lavoro proprio per stabilire il segno di $g$!).
A parte una $x$ che ti sei dimenticato (è $g'(x)=xe^x$), ma che è palesemente un errore di battitura visto che studi il segno di $g'$ correttamente, hai praticamente concluso. Dato che $g$ è derivabile su tutto $\mathbb{R}$ e $g$ è decrescente per $x<0$ e crescente per $x>0$ con $\left[g'(x)=0\right] \iff [x=0]$, segue che $x_0=0$ è un punto di minimo assoluto per $g$. Ossia, per definizione di minimo assoluto, segue che $g(x) \ge g(0)$ per ogni $x \in \mathbb{R}$. Ma $g(0)=0$, quindi $g(x) \ge 0$ per ogni $x \in \mathbb{R}$. Questo è quello che volevi dimostrare, ossia che il numeratore di $f'$ è sempre non negativo e si annulla solamente in un punto. Quindi, $f$ è strettamente crescente su $\mathbb{R}$.
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