Provare che polinomio P(x) ammette zeri reali e stabilirne segno
Salve a tutti, c'è un esercizio che non riesco a risolvere. L'esercizio dice:
"Provare che il polinomio $P(x)=x^10+7x^9-4x^6-6x^5+x^4+3x-1$ ammette almeno due zeri reali e stabilirne il segno (degli zeri)"
Io riesco a dimostrare l'esistenza dei due zeri reali attraverso il teorema di esistenza degli zeri che afferma che se una funzione definita in un Intervallo $I$ è continua in tale intervallo ed esistono due punti a,b di $I$ tale che $f(a)*f(b)<0$ allora esiste uno zero di polinomio. La mia prof ha spiegato che se $a0*an<0$ allora si avranno almeno due zeri reali ma non capisco il perchè di questo. Inoltre non ho idea di come stabilirne il segno. Grazie a chiunque mi possa aiutare
"Provare che il polinomio $P(x)=x^10+7x^9-4x^6-6x^5+x^4+3x-1$ ammette almeno due zeri reali e stabilirne il segno (degli zeri)"
Io riesco a dimostrare l'esistenza dei due zeri reali attraverso il teorema di esistenza degli zeri che afferma che se una funzione definita in un Intervallo $I$ è continua in tale intervallo ed esistono due punti a,b di $I$ tale che $f(a)*f(b)<0$ allora esiste uno zero di polinomio. La mia prof ha spiegato che se $a0*an<0$ allora si avranno almeno due zeri reali ma non capisco il perchè di questo. Inoltre non ho idea di come stabilirne il segno. Grazie a chiunque mi possa aiutare

Risposte
E' estremamente più facile di quanto non pensi. Immagina il grafico di questa funzione. Quando vale $P(0)$? E cosa succede quando $x\to +\infty$ e $x\to -\infty$? Fai un piccolo sketch di queste minime informazioni in un grafico.
dovrebbe essere $P(0)=-1<0$ e per $lim (x->+oo) P(x)=lim (x->-oo) P(x)=+oo$ che per il teorema di permanenza del segno esisterà un x0 / P(x0) positivo quindi ho trovato due punti in cui il polinomio ha valori positivi e negativi. Ma ancora non riesco a capire come trovare se i due zeri sono positivi o negativi
Devi ragionare di più. Hai fatto un disegno? Ricordati che il teorema degli zeri è una cosa ovvia, se lo vedi sui grafici disegnati.
Mi sono spiegato male, ho fatto un grafico e ho visto che viene una "specie di parabola" che ha un punto sotto l'asse delle ascisse in x=0 quindi avrà il suo minimo sotto l'ascisse e quindi toccherà due volte l'asse x.
Il problema come faccio a capire se queste intersezioni avvengono per x>0 o x<0.
Ad intuito penso che siano uno positivo ed uno negativo ma non ne sono certo
Il problema come faccio a capire se queste intersezioni avvengono per x>0 o x<0.
Ad intuito penso che siano uno positivo ed uno negativo ma non ne sono certo
E invece è giusto. Nota che potresti avere anche molti più zeri, fino a 10. Questo piccolo ragionamento ti dice che ne hai almeno due, uno positivo e uno negativo; per gli altri, occorre una analisi più approfondita.
Ok adesso va meglio
Per quanto riguarda una dimostrazione rigorosa dei segni degli zeri basta prendere il polinomio nell'intervallo $(-oo,0]$ e $[0,+oo)$ e applicare per entrambi gli intervalli il teorema di esistenza degli zeri considerando che nel primo tutti gli x sono negativi e nell'altro positivi?

Puoi dirlo meglio ma si, è così.
Ok grazie per l'aiuto
