Provare che lo spazio di Banach L^\infty non è riflessivo

[Gengis_Cohen1]

Ho un problema con un passaggio del Brezis ("Analisi funzionale", pagina 102):
il libro mette in evidenza che [tex]L^\infty[/tex] in generale non è riflessivo, e prende come esempio il funzionale lineare continuo [tex]\phi: L^\infty(R^N) \rightarrow R[/tex] definito come [tex]\phi(f)=f(0)[/tex] [tex]\forall f \in C_c(R^N)[/tex] e poi esteso per Hahn-Banach su [tex]L^\infty(R^N)[/tex].

Prendendo per assurdo che esista [tex]u \in L^1[/tex] tale che [tex]\phi(f)=\int uf[/tex] [tex]\forall f \in L^\infty[/tex], Brezis ne deduce che si deve avere necessariamente [tex]\int uf =0[/tex] e [tex]f(0)=0[/tex] [tex]\forall f \in C_c[/tex].

Ecco, a me questo passaggio è del tutto oscuro

Qualcuno sa aiutarmi???
Grazie mille!

[Rigel1]

Temo che ci sia un problema di interpretazione del testo; Brezis dice che, se \(f\in C_c\) e \(f(0) = 0\), allora \(\int u f = f(0) = 0\).

[Gengis_Cohen1]

Se Brezis dicesse quella cosa lì, la dimostrazione non avrebbe senso.

[gugo82]

Ma come non avrebbe senso?!?...

Supponiamo per assurdo che esista \(u\in L^1(\mathbb{R}^N)\) che rappresenti il funzionale \(\phi\in (L^\infty (\mathbb{R}^N))^*\) costruito da Brezis, ossia tale che:
\[
\intop_{\mathbb{R}^N} u\ f = \phi (f)
\]
per ogni \(f\in L^\infty(\mathbb{R}^N)\) (ed, in particolare, \(\int_{\mathbb{R}^N} u\ f =f(o)\) per \(f\in C_c(\mathbb{R}^N)\)).

Evidentemente, per ogni scelta di \(f\in C_c(\mathbb{R}^N)\subset L^\infty (\mathbb{R}^N)\) con \(\operatorname{supp} f\subset \mathbb{R}^N\setminus \{o\}\), si ha \(\phi (f)=f(o)=0\) e dunque anche:
\[
\intop_{\mathbb{R}^N} u\ f =0\; ;
\]
da ciò si trae immediatamente (mediante quel risultato che di solito si chiama lemma fondamentale del Calcolo delle Variazioni) che \(u=0\) quasi ovunque in \(\mathbb{R}^N\setminus \{o\}\) e quindi:
\[
u=0 \qquad \text{q.o. in } \mathbb{R}^N\; .
\]
Ma ciò è assurdo: infatti, l'essere \(u=0\) q.o. implica \(\phi (f)=0\) per ogni scelta di \(f\in L^\infty (\mathbb{R}^N)\), contro il fatto che \(\phi (\bar{f})=1\) per \(\bar{f}\in C_c(\mathbb{R}^N)\) definita ponendo:
\[
\bar{f} (x):= \begin{cases} 1-|x|^2 &\text{, se } |x|\leq 1\\
0 &\text{, altrimenti.}
\end{cases}
\]
Quindi non esiste alcuna funzione sommabile in \(\mathbb{R}^N\) che rappresenti \(\phi\).

Questa dimostrazione si può adattare (ripetendola quasi verbatim) per mostrare che non esiste alcuna funzione localmente sommabile in \(\mathbb{R}^N\) che rappresenti la restrizione di \(\phi\) a \(C_c(\mathbb{R}^N)\) mediante integrale, i.e. che non esiste alcuna \(u\in L_{loc}^1(\mathbb{R}^N)\) tale che:
\[
\intop_{\mathbb{R}^N} u\ f =f(o)
\]
per ogni \(f\in C_c(\mathbb{R}^N)\).

[Gengis_Cohen1]

Ok scusate, l'equivoco era dovuto al fatto che sul libro non trovavo esplicitamente che [tex]\int uf=0[/tex] solo quando [tex]\mathrm{supp} f \subset R^N \setminus \{ 0 \}[/tex] e da lì sono andato in confusione..
Grazie mille!