Provare che l'equazione
provare che l'equazione:
$2^x=sinx$ ha infinite soluzioni e che l'insieme di tali soluzioni è limitato superiormente ma non inferiormente.
è un testo d'esame. l'unico procedimento che azzardo è lo svolgimento dell'equazione nell'incognita x anche se non riesco a trarne conclusioni.
x=logsinx in base 2
quindi per il dominio svolgo il sistema:
sinx>0
sinx<=1
e le soluzioni fanno parte del primo e secondo quadrante a meno di 2kpi.
potrei provare con la definizione di estremo superiore per provare che è limitata superiormente..
$2^x=sinx$ ha infinite soluzioni e che l'insieme di tali soluzioni è limitato superiormente ma non inferiormente.
è un testo d'esame. l'unico procedimento che azzardo è lo svolgimento dell'equazione nell'incognita x anche se non riesco a trarne conclusioni.
x=logsinx in base 2
quindi per il dominio svolgo il sistema:
sinx>0
sinx<=1
e le soluzioni fanno parte del primo e secondo quadrante a meno di 2kpi.
potrei provare con la definizione di estremo superiore per provare che è limitata superiormente..
Risposte
non ti conviene. quello che userei io è il teorema degli zeri, applicato a $2^x-sin x$. o qualcosa del genere, ma sicuramente non risolvere esplicitamente l'equazione. prova.
Ti conviene tracciare il grafico delle due funzioni sullo stesso sistema di riferimento cartesiano $y=2^x; y=sinx $.
Questo per rendersi conto "visivamente" che le soluzioni dell'equazione sono $ oo $ e che l'insieme delle soluzioni è limitato superiormente ma non inferiormente.
Questo per rendersi conto "visivamente" che le soluzioni dell'equazione sono $ oo $ e che l'insieme delle soluzioni è limitato superiormente ma non inferiormente.
Ecco il grafico
"Camillo":
Ecco il grafico
ehm...come faccio a vedere che sono infinite? scusami la domanda idiota.
"dissonance":scusami dissonance ma come si applica il teorema degli zeri ad una funzione? già negli esercizi proposti da ada ho trovato difficoltà...poi ho scoperto che il prof ha accennato a questi argomenti e senza esempi io...ahimè...non vado da nessuna parte:(
non ti conviene. quello che userei io è il teorema degli zeri, applicato a $2^x-sin x$. o qualcosa del genere, ma sicuramente non risolvere esplicitamente l'equazione. prova.
"dissonance":scusami dissonance ma come si applica il teorema degli zeri ad una funzione? già negli esercizi proposti da ada ho trovato difficoltà...poi ho scoperto che il prof ha accennato a questi argomenti e senza esempi io...ahimè...non vado da nessuna parte:(
non ti conviene. quello che userei io è il teorema degli zeri, applicato a $2^x-sin x$. o qualcosa del genere, ma sicuramente non risolvere esplicitamente l'equazione. prova.
Se una funzione è continua su un intervallo, ogni volta che assume un valore negativo ed uno positivo, tra i due c'è almeno uno zero. Considera l'intervallo $(-\infty, 0)$, e conta quante volte la funzione $2^x-sin x$ cambia segno (questa è la parte più difficile). Poi passa a $[0,+\infty)$. Magari usando la derivata prima, studia il segno di $2^x-sin x$.
(edit)forse è più facile se lasci perdere le derivate. Prova a risolvere senza derivare.
(edit)forse è più facile se lasci perdere le derivate. Prova a risolvere senza derivare.
"dissonance":
Se una funzione è continua su un intervallo, ogni volta che assume un valore negativo ed uno positivo, tra i due c'è almeno uno zero. Considera l'intervallo $(-\infty, 0)$, e conta quante volte la funzione $2^x-sin x$ cambia segno (questa è la parte più difficile). Poi passa a $[0,+\infty)$. Magari usando la derivata prima, studia il segno di $2^x-sin x$.
(edit)forse è più facile se lasci perdere le derivate. Prova a risolvere senza derivare.
proverò la seconda parte. per la prima...sul contare quante volte la funzione cambia segno...la vedo anch'io difficile. forse in questo caso il metodo di camillo potrebbe essermi d'aiuto.
"bad.alex":
forse in questo caso il metodo di camillo potrebbe essermi d'aiuto.
questo è poco ma sicuro.
"bad.alex":
[quote="Camillo"]Ecco il grafico
ehm...come faccio a vedere che sono infinite? scusami la domanda idiota.[/quote]
hanno infinite soluzini in quano $2^x$ è sempre positiva, mentrw $sin(x)$ è oscillante....
ciao
se aggiungi l'informazione che $2^x$ è sempre strettamente crescente e che vale 1 in x=0, hai anche l'informazione che non può intersecare una funzione che oscilla nella fascia compresa tra y=-1 e y=1 in valori di ascisse positive, mentre deve necessariamente intersecare la stessa funzione in infiniti punti di ascissa negativa, perché entrambe le funzioni hanno dominio R e sono continue in ogni punto. ciao.
"adaBTTLS":
se aggiungi l'informazione che $2^x$ è sempre strettamente crescente e che vale 1 in x=0, hai anche l'informazione che non può intersecare una funzione che oscilla nella fascia compresa tra y=-1 e y=1 in valori di ascisse positive, mentre deve necessariamente intersecare la stessa funzione in infiniti punti di ascissa negativa, perché entrambe le funzioni hanno dominio R e sono continue in ogni punto. ciao.
vi ringrazio. ora è chiaro. alex
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