Provare che la successione è monotona

[MauroM292]

Buona sera, ho trovato difficoltà nello svolgere questa successione.
$ an= n-sqrt(n^2+1) $
Provare che an è monotona strettamente crescente,
determinare, se esistono, il massimo, il minimo, l'estremo superiore e l'estremo inferiore.
Ho applicato la formula an< an+1 ottenendo come risultato 4<0. E non so più come procedere. Mi potreste dare una mano?
Grazie mille in anticipo!!

[kobeilprofeta]

"MauroM292":Buona sera, ho trovato difficoltà nello svolgere questa successione.
$ an= n-sqrt(n^2+1) $
Provare che an è monotona strettamente crescente,
determinare, se esistono, il massimo, il minimo, l'estremo superiore e l'estremo inferiore.
Ho applicato la formula an< an+1 ottenendo come risultato 4<0. E non so più come procedere. Mi potreste dare una mano?
Grazie mille in anticipo!!

$a_{n+1}-a_n= n+1-sqrt(n^2+2n+2)-n+sqrt(n^2+1)=1+sqrt(n^2+1)-sqrt(n^2+2n+2)>sqrt(n^2+1)-sqrt(n^2+2n+2)$
ora basta far vedere che $sqrt(n^2+1)>sqrt(n^2+2n+2)$, per la monotonia della radice, $<=> n^2+1>n^2+2n+2$ che è falso, dunque è monotona decrscente

[poll89]

kobeilprofeta (ovazione per il nome, innanzitutto ) ha già detto tutto. Io sarei solo curioso di sapere come ti esce 4 < 0 da $a_n < a_(n+1)$

[orsoulx]

"kobeilprofeta":dunque è monotona decrscente

Non direi! Per poter applicare la transitività devi avere diseguaglianze nel medesimo verso.
La successione è monotona crescente e per provarlo basta trasformare
\( a_n=n-\sqrt{n^2+1}=\frac {-1} {n+\sqrt{n^2+1}} \)
Il denominatore è crescente perché somma di addendi crescenti.....
Ciao

[kobeilprofeta]

"poll89":kobeilprofeta (ovazione per il nome, innanzitutto ) ha già detto tutto. Io sarei solo curioso di sapere come ti esce 4 < 0 da $a_n < a_(n+1)$

grazie

@orso
cosa intendi? spiega la storia dei versi delle disequazioni

[quantunquemente]

$sqrt(n^2+1)-sqrt(n^2+2n+2)<0$ non implica che $1+sqrt(n^2+1)-sqrt(n^2+2n+2)<0$

ha ragione orsolux : la successione è crescente

[orsoulx]

"kobeilprofeta":cosa intendi? spiega la storia dei versi delle disequazioni

Ti ha già risposto quantunquemente.
Se dimostri che $a_{n+1}-a_n>f(n)<0$, non ricavi alcuna informazione sul segno della differenza iniziale.
Ciao