Provare che funzioni in due varibili non e` superiormente limitata

[federicogiorgi]

Buongiorno, vorrei risolvere un esercizio che riguarda la funzione $ f(x,y)= (3x^2-2y^2)/sqrt(x^2+y^2 $ per $ (x,y)!= (0,0) $ e $ f(x,y)=0 $ per $ (x,y)= (0,0) $ . Mi si chiede di verificare che non e' superiormente limitata nel suo dominio. Dato che il limite della funzione per $ (x,y)->0 $ vale 0, l'unica soluzione che mi e' venuta in mente e' quella di verificare che il imilte della funzione per la norma $ || (x,y)|| ->oo $ vale $ oo $ (mi sembra di ricordare che il calcolo del limite su una restrizione qualsiasi per esempio x=y non basterebbe a provare che effettivamente il limite vale $ oo $), ma non riesco ad applicare la definizione ossia trovare $ M(N)>0 $ tale che $ AA N>0 EE M(N)>0 : || (x,y)|| >M(N) -> |f(x,y)|>N $ .
Grazie per l'aiuto

[killing_buddha]

In coordinate polari $f(r,\theta)=3r\cos^2\theta-2r\sin^2\theta$; se $|r|\to\infty$, è evidente che $|f(r,\theta)|=|rg(\theta)|=|r|\to\infty$. Easy.

[federicogiorgi]

Grazie! Si in effetti ..per le coordinate polari pero' non bisogna provare che il limite e' uniforme rispetto a teta?

[killing_buddha]

Infatti mi sembra lo sia. Magari $g$ non è costante come ho scritto, ma è certamente limitata.

[federicogiorgi]

"killing_buddha":Infatti mi sembra lo sia. Magari $g$ non è costante come ho scritto, ma è certamente limitata.

Ok grazie di nuovo! )

[dissonance]

"FG818":Grazie! Si in effetti ..per le coordinate polari pero' non bisogna provare che il limite e' uniforme rispetto a teta?

Si scrive "theta". In ogni caso qui non ti serve sapere se il limite esiste o no. Considera per esempio la restrizione di \(f\) alla retta \(y=0\), che ha una espressione semplice:
\[
f(x, y)=3|x|.\]
Da qui vedi immediatamente che la funzione non è limitata.

[federicogiorgi]

Grazie..così è molto più semplice.