Provare che esistono dei parametri reali

[gingrenade]

Come risolvereste questo esercizio???

Provare che esistono dei parametri reali a,b in R tali che sia minimo il seguente integrale,e trovarne i valori: $ int_(0)^(1) (ax+b-x^2)^2 dx $

grazie a tutti!!!

[stormy1]

risolvendo l'integrale definito,ottieni una funzione di 2 variabili $f(a,b)$ di cui bisogna trovare il minimo in $mathbbR^2$

[gugo82]

Ma, anche non risolvendolo, probabilmente si può fare qualcosa: se dico derivazione sotto integrale, ti viene in mente nulla?

[gingrenade]

grazie a entrambi della risposta io ho seguito questo procedimento e sono riuscito a risolvere l'esercizio: 1.ho svolto l'integrale. 2.ho ricavato due funzioni e ne ho fatto il gradiente in modo da trovare un intervallo e quindi i due punti x e y. 3.ho calcolato la matrice hessiana e il risultato che ho trovato mi da il punto di massimo o di minimo giusto??

[gugo82]

Va bene... Ma perché non usare la derivazione sotto integrale per semplificare un po' i conti?

Hai una funzione:
\[
f(a,b):= \int_0^1 (b+a\ x-x^2)^2\ \text{d} x
\]
che è del tipo:
\[
\int_0^1 \phi (x; a,b)\ \text{d} x
\]
con \(\phi (x;a,b):=(b+ax-x^2)^2\) di classe \(C^\infty ([0,1] \times \mathbb{R}^2)\); un noto teorema di derivazione degli integrali dipendenti da parametri ti assicura che puoi derivare sotto il segno d'integrale:
\[
\begin{split}
\frac{\partial f}{\partial a}(a,b) &= \int_0^1 \frac{\partial \phi}{\partial a} (x;a,b)\ \text{d} x\\
\frac{\partial f}{\partial b}(a,b) &= \int_0^1 \frac{\partial \phi}{\partial b} (x;a,b)\ \text{d} x
\end{split}
\]
ottenendo:
\[
\begin{split}
\frac{\partial f}{\partial a}(a,b) &= 2\ \int_0^1 (b+ax-x^2)\ x\ \text{d} x\\
&= b + \frac{2}{3}\ a - \frac{1}{2}\\
\frac{\partial f}{\partial b}(a,b) &= 2\ \int_0^1 (b+ax-x^2)\ \text{d} x\\
&=2\ b + a - \frac{2}{3}
\end{split}
\]
da cui ricavi i punti stazionari di \(f\).
Analogamente:
\[
\begin{split}
\frac{\partial^2 f}{\partial a^2}(a,b) &= \int_0^1 \frac{\partial^2 \phi}{\partial a^2} (x;a,b)\ \text{d} x\\
\frac{\partial^2 f}{\partial a \partial b}(a,b) &= \int_0^1 \frac{\partial^2 \phi}{\partial a\partial b} (x;a,b)\ \text{d} x = \frac{\partial^2 f}{\partial b\partial a} (a,b)\\
\frac{\partial^2 f}{\partial b^2}(a,b) &= \int_0^1 \frac{\partial^2 \phi}{\partial b^2} (x;a,b)\ \text{d} x
\end{split}
\]
quindi:
\[
\begin{split}
\frac{\partial^2 f}{\partial a^2}(a,b) &= 2\ \int_0^1 x^2\ \text{d} x\\
\frac{\partial^2 f}{\partial a \partial b}(a,b) &= 2\ \int_0^1 x\ \text{d} x = \frac{\partial^2 f}{\partial b\partial a} (a,b)\\
\frac{\partial^2 f}{\partial b^2}(a,b) &= 2\ \int_0^1 1\ \text{d} x
\end{split}
\]
e l'hessiano è costante, quindi...