Provare che...

[Sk_Anonymous]

Provare che....

1) se la funzione continua $f:RRtoRR$ è tale che $f^2$ è monotona,anche $f$ è monotona;
2) se la funzione continua $f:]0,1[toRR$ è tale che $f^2$ è decrescente,esistono: $lim_(xto0)f(x)$ e $lim_(xto1)f(x)
e il secondo è finito;
3) se $f:RRtoRR$ uniformemente contina,allora anche $arctg(f(x))$ lo è;
se $f$ è solo continua,si può affermare che $arctg(f(x))$ è uniformemente continua?

[_Tipper]

"Sturmentruppen":1) se la funzione continua $f:RRtoRR$ è tale che $f^2$ è monotona,anche $f$ è monotona;

Io direi che basta osservare che la funzione $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}: x \mapsto \sqrt{x}$ è monotona crescente...

[Martino]

"Tipper":[quote="Sturmentruppen"]1) se la funzione continua $f:RRtoRR$ è tale che $f^2$ è monotona,anche $f$ è monotona;

Io direi che basta osservare che la funzione $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}: x \mapsto \sqrt{x}$ è monotona crescente...[/quote]

Credo che possa andare, ma come risolvi il caso in cui f non è sempre non negativa? (non vedo un motivo evidente).

Io avevo pensato così: premesso che una tale f si dice monotona se "mantiene o inverte l'ordine", nel senso "largo" (ovvero per esempio una funzione costante è monotona), se la f non è monotona allora esistono a0. Allora dato $x in [a,b]$, necessariamente f(x) in {-c,c}. Supponendo che f(x)=-c, per continuità deve esistere un punto y tra a e x in cui la f si annulla, assurdo perché si deve avere $f(y)^2=c^2>0$. Quindi f(x)=c per ogni x in [a,b]. Assurdo perché la f doveva essere non costante in [a,b].

Forse l'ho fatta un po' lunga...

[luluemicia]

Ciao, per la 1), prendiamo f così. Sui negativi la definiamo strettamente decrescente con codominio ]-1;0[; sui non negativi la definiamo così: f(x)=2+x.

[luluemicia]

Scusate, non avevo visto l'ipotesi di continuità!

[luluemicia]

bisogna prendere sui non negativi: f(x)=1+x

[Sk_Anonymous]

Il quesito non dice di dare un esempio di funzione,ma di dimostrare che tale proprietà vale per ogni funzione soddisfacente quelle condizioni!

[luluemicia]

Ciao Sturmentruppen,
scusami ma la prima volta non avevo notato l'ipotesi di continuità e la seconda volta l'avevo letta per la funzione $f^2$; poichè, in tali casi, il risultato era falso, mi ero preoccupato di esibire controesempio.

[Sk_Anonymous]

ok

[luluemicia]

Ciao a tutti,
mi pare che la dim. di Martino è Ok non solo per l'esercizio 1), ma anche per provare la monotonia di f nell'esercizio 2). A questo punto è ben nota l'esistenza di limiti di una funzione monotona. La finitezza del secondo limite mi pare banale: se fosse + infinito, troverei due punti $x

Cita

Segnala

[luluemicia]

Ciao, per quanto riguarda la prima parte del 3) segue dai due seguenti fatti noti: la funzione arctg è uniformemente continua (in quanto continua e con limiti finiti agli infiniti) e la composta di funzioni uniformemente continue è continua.

[luluemicia]

Ciao,
per la seconda parte del 3) mi pare che il risultato sia falso e che un controesempio in proposito si ha prendendo $f(x)=sin(x^2)$

[_Tipper]

"Martino":[quote="Tipper"][quote="Sturmentruppen"]1) se la funzione continua $f:RRtoRR$ è tale che $f^2$ è monotona,anche $f$ è monotona;

Io direi che basta osservare che la funzione $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}: x \mapsto \sqrt{x}$ è monotona crescente...[/quote]

Credo che possa andare, ma come risolvi il caso in cui f non è sempre non negativa? (non vedo un motivo evidente).[/quote]
Forse la sto facendo un po' troppo semplice, ma non baasterebbe osservare che la funzione $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}: x \mapsto -\sqrt{x}$ è anch'essa monotona, seppur decrescente?

[TomSawyer1]

Quando ho letto per la prima volta, ho avuto l'impressione che con $f^2$ intendesse $f(f(x))$. Sicuro, Sturmentruppen, che sia $f(x)^2$?

[Sk_Anonymous]

"TomSawyer":Quando ho letto per la prima volta, ho avuto l'impressione che con $f^2$ intendesse $f(f(x))$. Sicuro, Sturmentruppen, che sia $f(x)^2$?

Yes. I'm sure

[luluemicia]

Ciao,
mi sono chiesto se la i) fosse vera con l'interpretazione di Tom Sawyer di $f^2(x)$ come $f(f(x))$. La seguente funzione lo nega.
$f(x)=0$ fuori di $[-2;0]$; $f(x)=x+2$ in $[-2;-1]$; $f(x)=-x$ in $[-1;0]$