Prova scritta di analisi 2

[ing.mecc1]

ciao a tutti, qualcuno di voi armato di grande pazienza può risolvere gli esercizi che sono usciti
oggi alla prova di mate che ho fatto, così per confrontare i risultati e quindi
mettermi l'animo in pace...

1) f(x,y)=2·SIN(x)·COS(x) + 2·SIN(y)·COS(y)
calcolare eventuali punti di massimo e di minimo relativo.

2)risolvere le seguenti equazioni differenziali:


3·x·y' = y·(1 + x·SIN(x) - 3·y^3 ·SIN(x))

y'''+y''=x^2+2+3(x)e^x

3)calcolare il seguente integrale doppio:


∫∫|y|/((x^2+y^2)^2)
D

D={(x,y)appartenente R^2:1≤x^2+y^2≤4x; 0≤|y|≤(√3)x}

4)calcolare il seguente integrale curvilineo

∫x^2 ds
γ
dove γ è la circonferenza di centro C(1,0) e raggio r=1, percorsa in senso orario.


5)stabilire se la forma differenziale

ω(x,y)=x/(√(x^2+2y)) dx + 1/ (√(x^2+2y)) dy

è esatta e determinare

a) le primitive

b) ∫ω,dove γ è la curva di equazioni parametriche
γ

γ(t)= x(t)= (e^3t) +1
y(t)=(log(2t)) +1

1≤t≤2

un mega ringraziamento in anticipo a tutti coloro che mi daranno una mano,ciao!!!

[_luca.barletta]

"ing.mecc":
2)risolvere le seguenti equazioni differenziali:


3·x·y' = y·(1 + x·SIN(x) - 3·y^3 ·SIN(x))

sicuro del testo?

[ing.mecc1]

si, sono sicuro del testo..

[Sk_Anonymous]

Scriviamo l'equazione al seguente modo:
$y'=(1+xsinx)/(3x)y-(sinx)/xy^3$
In tale forma essa diventa un'equazione di Bernoulli che si
risolve con la posizione $y^(1-3)=u->u=y^(-2)$.
Derivando rispetto ad x si ha:
$u'=-2/(y^3)y'$ da cui $y'=-(y^3)/2u'$ e sostituendo risulta:
$u'=[-2/3(1/x+sinx)]u+2(sinx)/x$ che e' un'ordinaria equazione del
primo ordine.
Osservo pero' che la consueta formula di risoluzione di tale equazione porta
ad un integrale non elementarmente esprimibile.
Tranne ,ovviamente , possibili miei errori o di traccia.
A mio modesto parere quel 3 iniziale dovrebbe essere un 2.
karl

[_luca.barletta]

però difficilmente in un compito di analisi 2 capita un'equazione di bernoulli, anche perchè di solito in un programma di analisi 2 bernoulli non c'è... chiedevo lumi sul testo dell'equazione proprio per questo motivo

[_nicola de rosa]

$y'''+y''=x^2+2+3x*e^(x)$
il polinomio caratteristico è $lambda^2(lambda+1)=0->lambda=0,lambda=-1$ con $lambda=0$ radice doppia.
Quindi l'omogenea associata è
$y_o(x)=A+B*x+C*e^(-x)$, mentre un integrale particolare è del tipo $y_p(x)=Dx^4+Ex^3+Fx^2+Gx+H+(Ix+L)*e^(x)$ con $D,E,F,G,H,I,L$ da determinare.
Ora $y'_p(x)=4Dx^3+3Ex^2+2Fx+G+I*e^x+(Ix+L)*e^(x)$
$y''_p(x)=12Dx^2+6Ex+2F+2Ie^x+(Ix+L)*e^(x)$
$y'''_p(x)=24Dx+6E+3Ie^x+(Ix+L)*e^(x)$. Sostituendo nell'equazione di partenza si ha:
$12Dx^2+(6E+24D)x+(2F+6E)+2Ixe^x+(5I+2L)e^x= x^2+2+3x*e^(x)$
Col principio di identità dei polinomi si ricava:
${(12D=1),(6E+24D=0),(2F+6E=2),(G=0),(H=0),(2I=3),(5I+2L=0):}$ $<=>$ ${(D=1/12),(E=-1/3),(F=2),(G=0),(H=0),(I=3/2),(L=-15/4):}$ da cui
$y_p(x)=1/12x^4-1/3x^3+2x^2+3/4(2x-5)e^x$ per cui
$y(x)=y_o(x)+y_p(x)=A+B*x+C*e^(-x)+1/12x^4-1/3x^3+2x^2+3/4(2x-5)e^x$

1)$f(x,y)=2sinxcosx+2sinycosy=sin2x+sin2y$. Per il calcolo dei punti stazionari va risolto il sistema
${(f'_x=2cos2x=0),(f'_y=2cos2y=0):}$ da cui si racavano i punti stazionari $P_(k,k')=(pi/4+kpi/2,pi/4+k'pi/2),k,k' in Z$
Vediamo la loro natura:
$f''_(x x)=-4sin2x,f''_(y y)=-4sin2y,f''_(x y)=f''_(y x)=0$ per cui il determinante della matrice hessiana è
$D=16sin2x*sin2y$. Ora visto che le funzioni $sin2x,sin2y,cos2x,cos2y$ sono periodiche di $n*pi, n in Z$ allora anche i massimi e minimi relativi si ripeteranno periodicamente con periodo $n*pi, n in Z$, per cui i punti critici sono $A=(pi/4+kpi,pi/4+k'pi),B=(pi/4+kpi,3/4pi+k'pi),C=(3/4pi+kpi,pi/4+k'pi),D=(3/4*pi+kpi,3/4*pi+k'pi), k,k' in Z$.
Ora $D(A)=16sin(pi/2+2kpi)sin(pi/2+2k'*pi)=16>0,f''_(x x)(A)=-4<0-> A=(pi/4+kpi,pi/4+k'pi),k,k' in Z$ sono massimi
$D(B)=D(C)=16sin(pi/2+2kpi)sin(3/2*pi+2k'pi)=-16<0-> B=(pi/4+kpi,3/4pi+k'pi),C=(3/4pi+kpi,pi/4+k'pi),k,k' in Z$ sono selle
$D(D)=16sin(3/2*pi+2kpi)sin(3/2*pi+2k'*pi)=16>0,f''_(x x)(D)=4>0->D=(3/4*pi+kpi,3/4*pi+k'pi),k,k' in Z$ sono minimi.

5) La forma differenziale è chiusa perchè $(d(x(x^2+2y)^(-1/2)))/(dy)=(d((x^2+2y)^(-1/2)))/(dx)=-x/(x^2+2y)^(3/2)$.
Tuttavia poichè $omega$ è definita in $E=[(x,y) in RR^2 |x^2+2y>0]$ allora $E$ non è semplicemente connesso per cui l'essere chiusa non implica l'esattezza. però se consideriamo la curva in forma parametrica $gamma(t)=(e^(3t)+1,e^(3t)+1)$ allora la condizione $2y+x^2=(e^(3t)+1)(e^(3t)+3)>0 AA t in RR$ per cui la forma differenziale è esatta per ogni insieme semplicemente connesso contenente $gamma$. In tal caso una primitiva è facilmente $f(x,y)=sqrt(x^2+2y)$. Ora $gamma(2)=(e^6+1,e^6+1),gamma(1)=(e^3+1,e^3+1)$ per cui
$int_(gamma)omega=f(e^6+1,e^6+1)-f(e^3+1,e^3+1)=sqrt((e^6+1)(e^6+3))-sqrt((e^3+1)(e^3+3))$.

Le stesse identiche considerazioni si fanno se $gamma(t)=(ln(2t)+1,ln(2t)+1)$ ed in tal caso
$int_(gamma)omega=f(ln4+1,ln4+1)-f(ln2+1,ln2+1)=sqrt((ln4+1)(ln4+3))-sqrt((ln2+1)(ln2+3))$.

4)Una parametrizzazione della circonferenza $gamma$ di raggio $r=1$ e centro $(1,0)$ è ${(x=cos theta+1),(y=sin theta):}, theta in [0,2pi]$.
Ora $gamma'(theta)=(-sin theta,cos theta)->||gamma'(theta)||=1$.
La traccia dice che la circonferenza è percorsa in senso orario per cui
$int_(gamma)x^2ds=-int_{0}^{2pi}(cos theta+1)^2d theta=-int_{0}^{2pi}(cos^2 theta+2cos theta+1)d theta$=
$-int_{0}^{2pi}((1+cos 2theta)/2+2cos theta+1)d theta$=
$-int_{0}^{2pi}(1/2cos 2theta+2cos theta+3/2)d theta=-[1/4sin 2theta+2sin theta+3/2theta]_{0}^{2pi}=-3pi$

[ing.mecc1]

ti ringrazio davvero tanto per l'interessamento, però alla luce dei tuoi risultati mi è indispensabile sapere il risultato della prima equazione differenziale,
per rispondere anche a karl vi dico che le equazioni di bernoulli le abbiamo ampiamente studiate,ma questa nn mi sembra di quel tipo, vi riscrivo la traccia:

3xy'=y(1+xsin(x)-3y^3sin(x))

io mi sono mosso in questo modo:
1)ho moltiplicato la quantità tra parentesi al secondo membro per y
2)ho portato la x dal primo mombro al secondo membro
3)ho fatto la seguente posizione :
y/x=z; y=zx; y'=z'x+z
4) ho sostituito e poi l'ho risolta separando le variabili


chiedo conferma delle mie operazioni e del risultato xkè è un po' lunghetto...

grazie ancora a tutti, siete stati fantastici
ciao!!!

[_nicola de rosa]

"ing.mecc":ti ringrazio davvero tanto per l'interessamento, però alla luce dei tuoi risultati mi è indispensabile sapere il risultato della prima equazione differenziale,
per rispondere anche a karl vi dico che le equazioni di bernoulli le abbiamo ampiamente studiate,ma questa nn mi sembra di quel tipo, vi riscrivo la traccia:

3xy'=y(1+xsin(x)-3y^3sin(x))

io mi sono mosso in questo modo:
1)ho moltiplicato la quantità tra parentesi al secondo membro per y
2)ho portato la x dal primo mombro al secondo membro
3)ho fatto la seguente posizione :
y/x=z; y=zx; y'=z'x+z
4) ho sostituito e poi l'ho risolta separando le variabili


chiedo conferma delle mie operazioni e del risultato xkè è un po' lunghetto...

grazie ancora a tutti, siete stati fantastici
ciao!!!

innanzitutto $y=0$ è soluzione dell'equazione differenziale. poi supponendo $y!=0$ la riscrivi come:
$3xy'=y(1+xsinx)-3y^4sinx->x((3y')/y^4)=(1+xsinx)/(y^3)-3sinx$
Ora poni $z=y^(-3)->z'=-(3y')/(y^4)$ per cui l'equazione diventa:
$-xz'=z(1+xsinx)-3sinx$ $->$ $z'=-z(1/x+sinx)+(3sinx)/x$. Questa è una equazione lineare del primo ordine la cui omogenea associata fornisce come soluzione $z_0(x)=e^(int-(1/x+sinx)dx)=Ke^(cosx-ln|x|)=K(e^(cosx))/(x)$ avendo inglobati eventuali segni nella costante $K$ ,mentre un integrale particolare è del tipo $z_p(x)=(e^(cosx))/(x)*int(3sinx)/x*x/(e^(cosx))dx=(e^(cosx))/(x)*int3sinx*e^(-cosx)dx=(e^(cosx))/(x)*3*e^(-cosx)=3/x$ per cui
$z(x)=z_0(x)+z_p(x)=K(e^(cosx))/(x)+3/(x)=1/(x)*(K*e^(cosx)+3)$ da cui
$y=z^(-1/3)=1/(z^(1/3))=(x^(1/3))/(K*e^(cosx)+3)^(1/3)$

[Sk_Anonymous]

Il dominio e' quello in rosso nella figura allegata.
Esso e' simmetrico rispetto all'asse x (come la funzione integranda) per cui
ci si puo' limitare alla parte sopra l'asse x ($y>=0$) per
poi moltiplicare per 2.
In coordinate polari il dominio e' definito da:
$((1<=rho^2<=4 rho cos theta),(0<=rho sin theta<=rho sqrt3 cos theta))$
da cui,poiche' e' $rho>0$,segue che deve essere:
$((1<=rho<=4cos theta),(0<=theta<=(pi)/3))$
(a questo risultato si puo' giungere anche per via puramente
geometrica partendo dalla figura)
Pertanto,detto L l'integrale da calcolare,si ha:
$L=2int_0^(pi//3)d theta int_1^(4cos theta)(rho sin theta)/(rho^4)rho d rho$
E da qui con facili calcoli si ricava che:
$L=(2-ln2)/2$
karl
P.S.
L'equazione differenziale proposta e' di Bernoulli ,solo che ho interpretato il testo
come:
$3·x·y' = y·(1 + x·SIN(x)) - 3·y^3 ·SIN(x) $
mentre e' :
$3·x·y' = y·(1 + x·SIN(x) - 3·y^3 ·SIN(x)) $
Percio' la posizione giusta e' $y^(1-4)=y^(-3)=u$ come indicato da de rosa.

[Luca D.1]

"karl":
Il dominio e' quello in rosso nella figura allegata.

Scusa ti posso chiedere come ottieni quel dominio?
Prendiamo $1 <= x^2 + y^2 <= 4x$
Per: $1 <= x^2 + y^2$ otteniamo tutti i punti esterni alla circonferenzina più piccola che hai disegnato.
Per: $x^2 + y^2 <= 4x$ otteniamo tutti i punti interni alla circonferenzona che hai disegnato.
Come trovi il vincolo imposo dalla retta $y = 4x$ ?
Grazie!