Prova scritta di Analisi 1
Innanzitutto buon anno a tutto il forum.
Devo risolvere, alla prova d'esame, esercizi di questo tipo. Ne ho già svolti alcuni ma questo mi risulta difficile.
Se per favore potreste indicarmi il procedimento ve ne sarei grato.HO provato a fare l'approssimazione di taylor di questa funzione ma mi vengono fuori cose assurde.Il tempo stringe (ho l'esame il 10) e al di fuori di voi non conosco nessuno che può spiegarmi come fare, (la prof rientra il 9 !
). Grazie mille a tutti quelli che risponderanno.David.
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Devo risolvere, alla prova d'esame, esercizi di questo tipo. Ne ho già svolti alcuni ma questo mi risulta difficile.
Se per favore potreste indicarmi il procedimento ve ne sarei grato.HO provato a fare l'approssimazione di taylor di questa funzione ma mi vengono fuori cose assurde.Il tempo stringe (ho l'esame il 10) e al di fuori di voi non conosco nessuno che può spiegarmi come fare, (la prof rientra il 9 !
). Grazie mille a tutti quelli che risponderanno.David.[/img][/url]
Risposte
Per il primo si procede così:
$e^t=1+t+o(t)$
$cosy=1-y^2/2+o(y^2)$
Quindi ponendo $y=x^2$ e $t=x^4$ ricordandoci di fermarci al quarto ordinre compreso, si ha:
$e^{x^4}(cos(x^2)-3)=(1+x^4)(1-x^4/2-3)+o(x^4)=(1+x^4)(-2-x^4/2)+o(x^2)=-2-5/4x^4+o(x^4)$
Derivando quindi la funzione appena trovata si ha:
$d/{dx}-2-5/4x^4=-10x^3$ che si annulla in $x=0$ che risulta punto di massimo relativo.
Poi si vede che $f(0)=-2$ quindi il massimo è negativo.
$e^t=1+t+o(t)$
$cosy=1-y^2/2+o(y^2)$
Quindi ponendo $y=x^2$ e $t=x^4$ ricordandoci di fermarci al quarto ordinre compreso, si ha:
$e^{x^4}(cos(x^2)-3)=(1+x^4)(1-x^4/2-3)+o(x^4)=(1+x^4)(-2-x^4/2)+o(x^2)=-2-5/4x^4+o(x^4)$
Derivando quindi la funzione appena trovata si ha:
$d/{dx}-2-5/4x^4=-10x^3$ che si annulla in $x=0$ che risulta punto di massimo relativo.
Poi si vede che $f(0)=-2$ quindi il massimo è negativo.
grazie cavalli, adesso seguo il tuo procedimento e provo a farlo.il punto 3 e 5 come procederesti tu?
Prima dovremo fare il secondo punto mi sembra, sono tutti collegati..
si hai ragione, pensavo che il secondo punto mi risultasse più facile per questo non ti avevo chiesto aiuto ma invece effettivamente ne ho bisogno.
Comunque il punto 2 se considero x=0 l'area è 0
poi devo considerare x minore e maggiore di 0?
Comunque il punto 2 se considero x=0 l'area è 0
poi devo considerare x minore e maggiore di 0?
Io ho ragionato così:
Ho detto che se $f(t)$ è pari, allora $\intf(t)dt$ è dispari quindi dato che $domf(t)=RR$ che è simmetrico rispetto a 0, allora l'area risulta $-=0$ su tutto $RR$
Ti torna?
Ho detto che se $f(t)$ è pari, allora $\intf(t)dt$ è dispari quindi dato che $domf(t)=RR$ che è simmetrico rispetto a 0, allora l'area risulta $-=0$ su tutto $RR$
Ti torna?
si, ho capito il tuo ragionamento mi sembra efficace e veloce come soluzione del punto 2.
il punto 3 mi risulta molto ostico infatti avevo già messo le mani avanti.
dunque la disequazione è vera e le soluzioni della disequazione F(x) minore o uguale di -2x sono:
+ o meno radice quarta di (8(x-1))/5.
Adesso come faccio a vedere che è decrescente?
il punto 3 mi risulta molto ostico infatti avevo già messo le mani avanti.
dunque la disequazione è vera e le soluzioni della disequazione F(x) minore o uguale di -2x sono:
+ o meno radice quarta di (8(x-1))/5.
Adesso come faccio a vedere che è decrescente?
Nel terzo punto devi poi dimostrare che $f(x)=-2$ è massimo assoluto. Sai già che è massimo relativo, quindi basta che dimostri che la funzione è crescente per x<0 e decrescente per x>0.
Quindi come fai? Fai la derivata e ti accorgi che verifica proprio quelle condizioni.
Per dimostrare invece che $F(x)$ è decrescente basta che sia $f(t)<0$ dato che $F'(x)=f(x)$, il che è sempre vero perchè -2 è il max della funzione.
Per trovare poi le soluzioni di $F(x)<-2x$ secondo me devi procedere per via grafica.
Ti accorgi che entrambe le funzioni passano per l'origine, quindi secondo me puoi usare gli sviluppi di MacLaurin prima trovati per $f(t)$ per calcolarti l'andamento di $F(x)$ nell'intorno dello 0.
$\int_0^xe^{t^4}(cos(t^2)-3)dt\approx\int_{U_{(x=0)}}-2-5/4t^4dt=-2x-x^5/5$
Si vede quindi che in un intorno dell'origine $F(x)$ è approssimato da $-2x$.
Dato che poi $f'(t)=F''(x)$ si annulla in 0 si ha ivi un flesso che porta la funzione da concava verso l'alto a concava verso il basso, quindi quando $x\le0$ $-2xgeF(x)$.
Quindi come fai? Fai la derivata e ti accorgi che verifica proprio quelle condizioni.
Per dimostrare invece che $F(x)$ è decrescente basta che sia $f(t)<0$ dato che $F'(x)=f(x)$, il che è sempre vero perchè -2 è il max della funzione.
Per trovare poi le soluzioni di $F(x)<-2x$ secondo me devi procedere per via grafica.
Ti accorgi che entrambe le funzioni passano per l'origine, quindi secondo me puoi usare gli sviluppi di MacLaurin prima trovati per $f(t)$ per calcolarti l'andamento di $F(x)$ nell'intorno dello 0.
$\int_0^xe^{t^4}(cos(t^2)-3)dt\approx\int_{U_{(x=0)}}-2-5/4t^4dt=-2x-x^5/5$
Si vede quindi che in un intorno dell'origine $F(x)$ è approssimato da $-2x$.
Dato che poi $f'(t)=F''(x)$ si annulla in 0 si ha ivi un flesso che porta la funzione da concava verso l'alto a concava verso il basso, quindi quando $x\le0$ $-2xgeF(x)$.
ora provo,poi ti faccio sapere, grazie dell'aiuto!
allora, mi torna il punto 3 come lo hai spiegato tu, ti ringrazio tanto.Il punto 4: il limite fa effettivamente meno infinito e allora adesso che faccio come lo "dimostro"?All'iti non ho fatto mai le dimostrazioni e all'università ci hanno fatto vedere solo quella del perchè radice di 2 è irrazionale,quindi non sono messo bene.Il punto 5 calcolando il limite di f(x) per x che tende a - infinito ottengo - infinito e che devo scrivere di più?Help me!
Si basta così.
grazie cavalli,grazie davvero mi sei stato davvero d'aiuto adesso almeno ho una specie di guida!Però vedrai che posterò ancora su questi argomenti.Ti ringrazio tanto senza il forum non ne sarei mai venuto a capo da solo. Ciao,David.
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