Proprietà somma di una serie di potenze
Aiutooo! Ho un problema con questa proprietà della somma di una serie di potenze da quando il prof l'ha spiegata a lezione!
Vi introduco subito al problema:
sia $ f(z) = sum_ (n = 0)^(oo) a_n z^n$ , $|z| < rho $ , con $ rho >0 $ raggio di convergenza.
Sia $ z_1 $ un punto interno al cerchio di convergenza, quindi tale che $ |z_1| < rho $;
siccome la serie si può derivare indefinitamente termine a termine, risulta $ AA k $ naturale $ f^((k)) (z_1) / (k!) = sum_(n = k)^(oo) ( (n), (k) ) a_n z_1^(n-k) $.
Inoltre $ z^n = ( z - z_1 + z_1)^n = sum_(k = 0)^(n) ( (n), (k) ) z_1^(n-k)(z - z_1)^k $ per il binomio di Newton.
Allora si ha $ f(z) = sum_(n = 0)^(oo) a_n z^n = sum_(n = 0)^(oo) a_n sum_(k = 0)^(n) ( (n), (k) ) z_1^(n-k)(z - z_1)^k = sum_(k = 0)^(oo) (z - z_1)^k sum_(n =k)^(oo) a_n ( (n), (k) ) z_1^(n-k) =sum_(k = 0)^(oo) f^((k)) (z_1) / (k!)(z - z_1)^k. $
Io non capisco la penultima uguaglianza, quando in pratica scambia le sommatorie e ridefinisce gli indici. Lui a lezione ha detto che ciò è possibile perchè $ |z-z_1| < rho - |z_1| $ e sul libro c'è scritta la stessa identica cosa.
Chi mi spiega perchè è possibile? La giustificazione che ha dato il prof non la capisco.
Aiutatemiii per favore!
Vi introduco subito al problema:
sia $ f(z) = sum_ (n = 0)^(oo) a_n z^n$ , $|z| < rho $ , con $ rho >0 $ raggio di convergenza.
Sia $ z_1 $ un punto interno al cerchio di convergenza, quindi tale che $ |z_1| < rho $;
siccome la serie si può derivare indefinitamente termine a termine, risulta $ AA k $ naturale $ f^((k)) (z_1) / (k!) = sum_(n = k)^(oo) ( (n), (k) ) a_n z_1^(n-k) $.
Inoltre $ z^n = ( z - z_1 + z_1)^n = sum_(k = 0)^(n) ( (n), (k) ) z_1^(n-k)(z - z_1)^k $ per il binomio di Newton.
Allora si ha $ f(z) = sum_(n = 0)^(oo) a_n z^n = sum_(n = 0)^(oo) a_n sum_(k = 0)^(n) ( (n), (k) ) z_1^(n-k)(z - z_1)^k = sum_(k = 0)^(oo) (z - z_1)^k sum_(n =k)^(oo) a_n ( (n), (k) ) z_1^(n-k) =sum_(k = 0)^(oo) f^((k)) (z_1) / (k!)(z - z_1)^k. $
Io non capisco la penultima uguaglianza, quando in pratica scambia le sommatorie e ridefinisce gli indici. Lui a lezione ha detto che ciò è possibile perchè $ |z-z_1| < rho - |z_1| $ e sul libro c'è scritta la stessa identica cosa.
Chi mi spiega perchè è possibile? La giustificazione che ha dato il prof non la capisco.
Aiutatemiii per favore!
Risposte
È solo un trucchetto che però torna molto utile. Tu vuoi calcolare questa somma:
\[
\sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^n\]
Qui, per ogni fissato valore di \(n\) tu sommi su tutti i \(k\) più piccoli. È lo stesso se per ogni fissato valore di \(k\) tu sommi su tutti gli \(n\) più grandi, ovvero
\[
\sum_{k=0}^\infty \sum_{n=k}^\infty.\]
P.S. In verità, ho sempre avuto delle difficoltà in questo tipo di manipolazioni finché non mi sono imbattuto in Donald Knuth:
http://arxiv.org/pdf/math/9205211v1.pdf
formula (1.11). Ma questo potrebbe essere un mandarti esageratamente fuori strada, spero di non distrarti troppo.
\[
\sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^n\]
Qui, per ogni fissato valore di \(n\) tu sommi su tutti i \(k\) più piccoli. È lo stesso se per ogni fissato valore di \(k\) tu sommi su tutti gli \(n\) più grandi, ovvero
\[
\sum_{k=0}^\infty \sum_{n=k}^\infty.\]
P.S. In verità, ho sempre avuto delle difficoltà in questo tipo di manipolazioni finché non mi sono imbattuto in Donald Knuth:
http://arxiv.org/pdf/math/9205211v1.pdf
formula (1.11). Ma questo potrebbe essere un mandarti esageratamente fuori strada, spero di non distrarti troppo.
Il tutto è fatto per riuscire a scrivere f come somma della sua serie di Taylor e dimostrare che una serie di potenze fornisce una funzione analitica nel suo cerchio di convergenza.
Non capisco però perchè ciò è possibile solo nel cerchio di convergenza. All'interno di tale cerchio la $ f(z) = sum_(n = 0)^(oo) a_n z^n = sum_(n = 0)^(oo) a_n sum_(k = 0)^(n) ( (n), (k) ) z_1^(n-k)(z - z_1)^k $ converge totalmente (quindi uniformemente) e quindi ...??? Vale un qualche teorema analogo a quello del passaggio del limite sotto il segno di integrale?
Non capisco però perchè ciò è possibile solo nel cerchio di convergenza. All'interno di tale cerchio la $ f(z) = sum_(n = 0)^(oo) a_n z^n = sum_(n = 0)^(oo) a_n sum_(k = 0)^(n) ( (n), (k) ) z_1^(n-k)(z - z_1)^k $ converge totalmente (quindi uniformemente) e quindi ...??? Vale un qualche teorema analogo a quello del passaggio del limite sotto il segno di integrale?
Si. Le serie che convergono uniformemente si possono manipolare senza patemi d'animo: si possono passare al limite, integrare, e con qualche ipotesi in più, si possono pure derivare. In questo caso la cosa ti serve perché scambi serie infinite, quindi c'è in mezzo un passaggio al limite.
Ah ho capito! Grazie mille, sei stato gentilissimo!
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