Proprietà polinomi / MCD
Buonasera,
premetto subito che potrei aver sbagliato sezione ma essendo un dubbio che deriva da Calcolo Numerico ed avendo a che fare con i polinomi questa mi sembra la "categoria" più giusta.
Il dubbio che ho deriva dalla costruzione di una particolare successione di polinomi relativa al polinomio $P(x)$. Il primo termine della successione è il polinomio stesso, il secondo la derivata di $P(x)$ e l'ultimo termine (con indice k) corrisponde al MCD dei primi due termini. In simboli:
Quello che non riesco a capire è perchè se $P(x)$ e $P'(x)$ non hanno zeri in comune allora $P_k(x)$ deve essere una costante. Il ragionamento inverso (ovvero $P_k(x)$ costante implica che $P(x)$ e $P'(x)$ non abbiano zeri in comune) mi risulta abbastanza facile da vedere mentre questo no.
In altre parole: se $P(x)$ che $P'(x)$ non hanno zeri in comune non può esistere un polinomio per cui sia $P(x)$ che $P'(x)$ sono divisibili (e che quindi sarà contenuto nell'espressione del $MCD=P_k(x)$)?
premetto subito che potrei aver sbagliato sezione ma essendo un dubbio che deriva da Calcolo Numerico ed avendo a che fare con i polinomi questa mi sembra la "categoria" più giusta.
Il dubbio che ho deriva dalla costruzione di una particolare successione di polinomi relativa al polinomio $P(x)$. Il primo termine della successione è il polinomio stesso, il secondo la derivata di $P(x)$ e l'ultimo termine (con indice k) corrisponde al MCD dei primi due termini. In simboli:
$P_0(x)=P(x)$, $P_1(x)=P'(x)$, $P_k(x)=MCD{P(x),P'(x)}$
Quello che non riesco a capire è perchè se $P(x)$ e $P'(x)$ non hanno zeri in comune allora $P_k(x)$ deve essere una costante. Il ragionamento inverso (ovvero $P_k(x)$ costante implica che $P(x)$ e $P'(x)$ non abbiano zeri in comune) mi risulta abbastanza facile da vedere mentre questo no.
In altre parole: se $P(x)$ che $P'(x)$ non hanno zeri in comune non può esistere un polinomio per cui sia $P(x)$ che $P'(x)$ sono divisibili (e che quindi sarà contenuto nell'espressione del $MCD=P_k(x)$)?
Risposte
Questa cosa in campo reale è falsa.
Prendi $P(x) = (x^2 + 1)^2$.
Prendi $P(x) = (x^2 + 1)^2$.
"gugo82":
Questa cosa in campo reale è falsa.
Prendi $P(x) = (x^2 + 1)^2$.
Era l'esempio che non riuscivo a trovare!
Essendo un argomento che funziona solo nel campo reale immagino che abbia sbagliato ad esprimersi e volesse dire che se $P(x)$ e $P'(x)$ non hanno zeri in comune allora il MCD non ha zeri reali (ed infatti nel tuo esempio sono solo complessi). Il fatto che sia costante non so bene come gli sia uscito ma non c'entra niente.
Grazie
Prego.
Ma dipende dal discorso... Può darsi che l'oratore stesse riferendosi al caso complesso o non so cos'altro.
Perché non provi a chiedere spiegazioni al docente?
Ma dipende dal discorso... Può darsi che l'oratore stesse riferendosi al caso complesso o non so cos'altro.
Perché non provi a chiedere spiegazioni al docente?
"gugo82":
Ma dipende dal discorso... Può darsi che l'oratore stesse riferendosi al caso complesso o non so cos'altro.
Non esiste il caso complesso. Non abbiamo fatto la dimostrazione quindi mi risulta difficile spiegarlo ma diciamo che l'idea si basa sul fatto di "scorrere" l'asse X e contare il numero di variazioni di segno per sapere quanti e dove (all'incirca) sono gli zeri di un polinomio a coefficienti reali. Quindi, usando intervalli sull'asse delle X, non rileva alcuno zero complesso.
Se ti interessa approfondire l'argomento è la successione (e l'algoritmo) di Sturm, usati per approssimare zeri di equazioni algebriche.
"gugo82":
Perché non provi a chiedere spiegazioni al docente?
La risposta più semplice è che non fa parte del suo corso e non tratta ciò. Infatti la verifica delle 3 proprietà della successione in questione l'ha fatta in due righe quando sarebbero necessarie circa 1/2 pagine.
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