Proprietà lim inf e lim sup
Ciao, amici! Approfondendo le proprietà dei limiti inferiore e superiore, trovo che per due successioni limitate \((a_n)\) e \((b_n)\) con quest'ultima convergente a $b\geq 0$, vale\[\limsup_{n\to\infty} (a_n b_n)=b\limsup_{n\to\infty} (a_n),\quad\quad\quad\liminf_{n\to\infty} (a_n b_n)=b\liminf_{n\to\infty} (a_n) \]
Mi chiedevo se si potessero rilassare le ipotesi ad una successione non limitata \((a_n)\) e mi sembra che, dalle definizioni, tali uguaglianze valgano anche per \((a_n)\) non limitata con $b>0$ intendendo \(b\cdot (\pm\infty)=\pm\infty\).
Se invece $b=0$ e \((a_n)\) non è limitata, valgono queste uguaglianze o no?
$\infty$ grazie a tutti!
Mi chiedevo se si potessero rilassare le ipotesi ad una successione non limitata \((a_n)\) e mi sembra che, dalle definizioni, tali uguaglianze valgano anche per \((a_n)\) non limitata con $b>0$ intendendo \(b\cdot (\pm\infty)=\pm\infty\).
Se invece $b=0$ e \((a_n)\) non è limitata, valgono queste uguaglianze o no?
$\infty$ grazie a tutti!
Risposte
Ciao Davide 
Direi di sì. Per esempio, se $(a_n)_{n}$ è illimitata superiormente hai $"limsup"_n a_n=+\infty$; dato che $b_n\to b>0$, allora è definitivamente positiva e limitata: tanto vale assumere $b_n> 0$. Se $M>0$ è grande quanto ci piace, quindi, esiste un indice per $n$ cui $|a_n|\ge M$, da cui
\[|a_n b_n|=b_n|a_n|\ge M b_n\ge M\underbrace{\inf_k b_k}_{> 0\ \text{se}\ b>0 (\star)} \]
Per la generalità di $M$, pure $(a_nb_n)_n$ è illimitata, e vale la formula proposta convenendo che $c\cdot (+\infty)=+\infty$ (se $c>0$).
No, basta pensare alle solite $a_n =n^2$ e $b_n=1/n$; è la disuguaglianza $(\star)$ che cade[nota]Se la $(\star)$ fosse falsa con $b>0$, cioè se $"inf"_k b_k=0$, esisterebbe un'estratta $(b_{h(n)})_n$ infinitesima: assurdo, dato che $b_n\to b$.
Chiaro che quando $b=0$ non funziona più[/nota].
"DavideGenova":
Mi chiedevo se si potessero rilassare le ipotesi ad una successione non limitata \((a_n)\) e mi sembra che, dalle definizioni, tali uguaglianze valgano anche per \((a_n)\) non limitata con $b>0$ intendendo \(b\cdot (\pm\infty)=\pm\infty\).
Direi di sì. Per esempio, se $(a_n)_{n}$ è illimitata superiormente hai $"limsup"_n a_n=+\infty$; dato che $b_n\to b>0$, allora è definitivamente positiva e limitata: tanto vale assumere $b_n> 0$. Se $M>0$ è grande quanto ci piace, quindi, esiste un indice per $n$ cui $|a_n|\ge M$, da cui
\[|a_n b_n|=b_n|a_n|\ge M b_n\ge M\underbrace{\inf_k b_k}_{> 0\ \text{se}\ b>0 (\star)} \]
Per la generalità di $M$, pure $(a_nb_n)_n$ è illimitata, e vale la formula proposta convenendo che $c\cdot (+\infty)=+\infty$ (se $c>0$).
"DavideGenova":
Se invece $b=0$ e \((a_n)\) non è limitata, valgono queste uguaglianze o no?
$\infty$ grazie a tutti!
No, basta pensare alle solite $a_n =n^2$ e $b_n=1/n$; è la disuguaglianza $(\star)$ che cade[nota]Se la $(\star)$ fosse falsa con $b>0$, cioè se $"inf"_k b_k=0$, esisterebbe un'estratta $(b_{h(n)})_n$ infinitesima: assurdo, dato che $b_n\to b$.
Chiaro che quando $b=0$ non funziona più
[/nota].
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