Proprietà intorni in spazi metrici

[Kashaman]

Per completezza per spazio metrico intendo un qualunque insieme $E$ non vuoto munito di distanza $d$

Sia $(E,d)$ spazio metrico. E siano $l_1,l_2 in E , l_1!=l_2$. Allora $EE V in I_(l_1) , U in I_(l_2) : VnnU$ è vuota. (ove stavolta la distanza che definisce gli intorni è $d$.
Ho provato a darne una dimostrazione.

dim :
Procedo per assurdo. Pongo $r=(d(l_1,l_2))/2$
E considero due sfere del tipo $V=I(l_1, r) ={x in E | d(x,l_1) $x in VnnU <=> d(x,l_1) Se valgono entrambe le disuguaglianze allora vale anche che $d(x,l_1)+ d(x,l_2)<2r=d(l_1,l_2)$
ma essendo $d(x,l_1)=d(l_1,x)$
ho per diseguaglianza triangolare che $d(l_1,l_2)<=d(x,l_1)+ d(x,l_2)<2r=d(l_1,l_2) => 2r= d(l_1,l_2)<2r$. Assurdo.


Potrebbe andar bene provata così? grazie mille.



EDIT : corretto errore.

[Seneca1]

$r=(d(l_1,l_2))/2$, forse...

Corretto, comunque.

[Kashaman]

sì seneca hai ragione! errore di battitura, grazie mille!