Proprietà integrale generale

[ironshadow1]

Sia:
$ y^n=a0(x)y+...+a(n-1)[pedice](x)y^(n-1) $
1)
se y1, y2, .. yp sono p soluzioni in [a] allora c1,c2...cp è soluzione e risulta:
y(x)=c1 y1+c2 y2+...+cp yp

2)
se le condizioni iniziali del prob di Cauchy sono $ y(x0)=0 y'(x0).... y^(n-1)(x0)=0 $
allora y(x)=0

3)
siano assegnati n prob. di Cauchy:

1) $ { ( y1(x0)=1 ),( y1(x0)=0 ),( y1^(n-1)(x0)=0 ):} $ 2) $ { ( y2(x0)=0 ),( y2(x0)=1 ),( y2^(n-1)(x0)=0 ):} $ n) $ { ( yn(x0)=0 ),( yn(x0)=0 ),( yn^(n-1)(x0)=1 ):} $
dove le soluzioni del primo sistema è y1(x) , del secondo y2(x) ... dell'ennesimo prob. yn(x)

siano y1,y2,....yn soluzioni linearmente indipendenti in [a;b]
allora c1y1(x)+c2y2(x)+...+cnyn(x)=0

$ { ( c1y1(x)+...+cnyn(x)=0 ),( c1y'1(x)+...+ cny'n(x)=0 ),( c1y^(n-1)(x)+...+ cnyn^(n-1)(x)=0 ):} $
se è valido per ogni x allora sarà valido anche per x0
$ { ( c1y1(x0)+...+cnyn(x0)=0 ),( c1y'1(x0)+...+ cny'n(x0)=0 ),( c1y^(n-1)(x0)+...+ cnyn^(n-1)(x0)=0 ):} $

$ { ( c1y1(x0)+...+cnyn(x0)=0 =>c1=0 ),( c1y'1(x0)+...+ cny'n(x0)=0 => c2=0),( c1y^(n-1)(x0)+...+ cnyn^(n-1)(x0)=0 =>cn=0):} $
quindi : (c1,c2..., cn)=(0,0....,0)

4° punto)
x0 $ x0 in [a;b] $
$ y1(x), y2(x), ...., yn+1(x) $

$ { (c1y1(x0)+...+cnyn(x0) +c(n+1)y(n+1)(x0)=0 ),( c1y'1(x0)+...+ cny'n(x0)+c(n+1)y'(n+1)(x0)=0),( c1y^(n-1)(x0)+...+ cnyn^(n-1)(x0)+c(n+1)y^(n-1)(n+1)(x0)=0):} $

il sistema ammette infinite soluzioni perchè il rango della matrice è minore del numero di incognite

allora il sistema ammettte 1 soluzione
(c1;c2;...cn;c(n+1))=(o diverso??)(0;........0)

$ y(x)=bar(c1)y1(x)+bar(c2)y2(x)+...+bar(cn)yn(x)+bar(c(n+1))y(n+1)(x) $ che è soluzione in [a,b]

per la seconda dimostrazione se y(x0)=0 ..... $ y^(n-1)(x0)=0 $
allora
$ bar(c1)y1(x)+bar(c2)y2(x)+...+bar(cn)yn(x)+bar(c(n+1))y(n+1)(x) =0 $

e (c1....c(n+1)=(0,...........,0)
vorrei sapere è corretto quello che ho scritto c'è qualche errore?

[j18eos]

Ma potresti modificare il post utilizzando i codici adatti per scrivere le formule, correggere delle frasi matematicamente prive di senso, ed eliminare le abbreviazioni; in conformità col regolamento? -_-

[ironshadow1]

come faccio a mettere i pedici
?
quello intendi

[j18eos]

Per i pedici basta scrivere \$a_n\$ per ottenere $a_n$! Poi al punto (1) affermi che i coefficienti reali $c_p$ sono soluzioni; forse volevi affermare che sono numeri reali qualsiasi!