Proprietà funzioni in \(L^1_{loc}\)
Salve a tutti, dovrei dimostrare la seguente proposizione:
Sia \( f\in L ^1_{loc}(\mathbb{R}^N) \), se \( \int_{\mathbb{R}^N} fgd\mu=0 \quad \forall g\in\mathcal{C}_0^\infty(\mathbb{R}^N) \quad \Rightarrow f=0 \) q.o. in \( \mathbb{R}^N\).
L'ho dimostrata \( \forall g\in\mathcal{C}_C^\infty(\mathbb{R}^N) \) utilizzando le mollifiers e vorrei sapere :
a) è vera anche per \( \forall g\in\mathcal{C}_0^\infty(\mathbb{R}^N)=\{ g\in\mathcal{C}^\infty(\mathbb{R}^N): g\rightarrow 0, |x|\rightarrow \infty\} \) (f è solo localmente integrabile e in questo caso g non ha supporto compatto)?
b) se si, come si dimostra (magari utilizzando il risultato preliminare dimostrato per \(g\in\mathcal{C}_C^\infty(\mathbb{R}^N) \))?
Sia \( f\in L ^1_{loc}(\mathbb{R}^N) \), se \( \int_{\mathbb{R}^N} fgd\mu=0 \quad \forall g\in\mathcal{C}_0^\infty(\mathbb{R}^N) \quad \Rightarrow f=0 \) q.o. in \( \mathbb{R}^N\).
L'ho dimostrata \( \forall g\in\mathcal{C}_C^\infty(\mathbb{R}^N) \) utilizzando le mollifiers e vorrei sapere :
a) è vera anche per \( \forall g\in\mathcal{C}_0^\infty(\mathbb{R}^N)=\{ g\in\mathcal{C}^\infty(\mathbb{R}^N): g\rightarrow 0, |x|\rightarrow \infty\} \) (f è solo localmente integrabile e in questo caso g non ha supporto compatto)?
b) se si, come si dimostra (magari utilizzando il risultato preliminare dimostrato per \(g\in\mathcal{C}_C^\infty(\mathbb{R}^N) \))?
Risposte
Una volta che hai dimostrato che \(f=0\) quasi ovunque utilizzando solo funzioni \(g\in C^{\infty}_C\) hai già finito, visto che \(C^{\infty}_C\subset C^{\infty}_0\).
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