Proprietà funzioni derivabili passanti per l'origine
Teorema. Sia $f:RR->RR$ derivabile e $f(0)=0$. Allora, $forall lambda>0 " " exists xi in (0,lambda)$ tale che $|f'(xi)+f(xi)|<=e^(lambda)/lambda|f(lambda)|$.
Primo dubbio: nel testo si dice derivabile. Si intende derivabile una volta con derivata continua oppure infinitamente volte derivabile? Immagino la prima, ma vorrei avere una vostra conferma.
Vorrei dare una dimostrazione di questo fatto. La prima cosa che ho notato è che non so bene come salti fuori quell' $e^lambda$. Ho allora fatto la congettura che si tratti di una "fregatura": infatti, $forall lambda >0=>e^lambda>1$. Quindi, se dimostro $|f'(xi)+f(xi)|<=|f(lambda)|/lambda$ a maggior ragione varrà anche la mia tesi. Siete d'accordo?
Dopodichè, l'unica cosa semi-sensata che mi è venuta in mente di fare è applicare Lagrange in $(0,lambda)$: le ipotesi sono evidentemente soddisfatte, per cui posso dire che $exists xi in (0,lambda)$ tale che
$(f(lambda)-f(0))/(lambda-0)=f'(xi)$ da cui si trova una cosa non male: $f'(xi)=f(lambda)/lambda$.
Fin qui credo sia giusto. Ma adesso mi manca un'idea su come chiudere la questione... sempre che fin qui sia giusto.
Grazie in anticipo per il vostro aiuto.
Primo dubbio: nel testo si dice derivabile. Si intende derivabile una volta con derivata continua oppure infinitamente volte derivabile? Immagino la prima, ma vorrei avere una vostra conferma.
Vorrei dare una dimostrazione di questo fatto. La prima cosa che ho notato è che non so bene come salti fuori quell' $e^lambda$. Ho allora fatto la congettura che si tratti di una "fregatura": infatti, $forall lambda >0=>e^lambda>1$. Quindi, se dimostro $|f'(xi)+f(xi)|<=|f(lambda)|/lambda$ a maggior ragione varrà anche la mia tesi. Siete d'accordo?
Dopodichè, l'unica cosa semi-sensata che mi è venuta in mente di fare è applicare Lagrange in $(0,lambda)$: le ipotesi sono evidentemente soddisfatte, per cui posso dire che $exists xi in (0,lambda)$ tale che
$(f(lambda)-f(0))/(lambda-0)=f'(xi)$ da cui si trova una cosa non male: $f'(xi)=f(lambda)/lambda$.
Fin qui credo sia giusto. Ma adesso mi manca un'idea su come chiudere la questione... sempre che fin qui sia giusto.
Grazie in anticipo per il vostro aiuto.
Risposte
Ciao Paolo, ho letto il tuo problema e mi piace molto, purtroppo però non sono riuscito ancora a trovare una soluzione 
Volevo solo dirti che non riuscirai a dimostrare l'esistenza di $\xi\in (0,\lambda)$ tale che:
[tex]\displaystyle |f'(\xi )+f(\xi)|\le \frac{|f(\lambda)|}{\lambda}[/tex]
Considera la funzione $f(x)= x$, essa soddisfa tutte le ipotesi del problema, ma $f'(x)= 1 AAx \in RR$ otteniamo:
[tex]|1+\xi|\le 1[/tex]
Questa disuguaglianza è soddisfatta se e solo se $-2<=\xi<=0$ ma $\xi$ non può assumere questi valori. Quello che vuoi dimostrare tu è molto più forte della tesi del tuo problema.
Per quanto riguarda il primo dubbio, immagini bene. Ad ogni modo quando ti trovi in difficoltà di questo tipo, io ti consiglio di guardare la tesi, in questo caso ad esempio la funzione $f$ deve essere almeno derivabile una volta, altrimenti non avrebbe senso $f'$ nella disuguaglianza
Volevo solo dirti che non riuscirai a dimostrare l'esistenza di $\xi\in (0,\lambda)$ tale che:
[tex]\displaystyle |f'(\xi )+f(\xi)|\le \frac{|f(\lambda)|}{\lambda}[/tex]
Considera la funzione $f(x)= x$, essa soddisfa tutte le ipotesi del problema, ma $f'(x)= 1 AAx \in RR$ otteniamo:
[tex]|1+\xi|\le 1[/tex]
Questa disuguaglianza è soddisfatta se e solo se $-2<=\xi<=0$ ma $\xi$ non può assumere questi valori. Quello che vuoi dimostrare tu è molto più forte della tesi del tuo problema.
Per quanto riguarda il primo dubbio, immagini bene. Ad ogni modo quando ti trovi in difficoltà di questo tipo, io ti consiglio di guardare la tesi, in questo caso ad esempio la funzione $f$ deve essere almeno derivabile una volta, altrimenti non avrebbe senso $f'$ nella disuguaglianza
Ciao, anzitutto grazie per la tua risposta. Temevo che il mio problema finisse nel dimenticatoio 
. Grazie per averlo recuperato.
Mi fa piacere non essere il solo a non trovare la soluzione. Sono in buona compagnia, almeno.
Caspita, non ci avevo pensato. In effetti non funziona con $f(x)=x$. Che fare allora? Qualcuno ha qualche idea geniale? Da dove può saltare fuori quell'$e^lambda$ della tesi? Ho anche pensato di studiare separatemente i due casi: $f " crescente in " (0,lambda)$ e $f " decrescente in " (0,lambda)$ ma non sono andato molto lontano...
Grazie a chiunque mi aiuterà.
P.S. Grazie anche per la conferma circa il significato della parola "derivabile", era proprio come pensavo.
P.P.S. Il problema è una traccia d'esame di uno scritto di Analisi I dello scorso aa. Non penso sia esageratamente difficile... bisognerebbe solo avere l'idea giusta.
. Grazie per averlo recuperato. "Mathematico":
Ciao Paolo, ho letto il tuo problema e mi piace molto, purtroppo però non sono riuscito ancora a trovare una soluzione
Mi fa piacere non essere il solo a non trovare la soluzione. Sono in buona compagnia, almeno.
"Mathematico":
Volevo solo dirti che non riuscirai a dimostrare l'esistenza di $\xi\in (0,\lambda)$ tale che:
[tex]\displaystyle |f'(\xi )+f(\xi)|\le \frac{|f(\lambda)|}{\lambda}[/tex]
Considera la funzione $f(x)= x$, essa soddisfa tutte le ipotesi del problema, ma $f'(x)= 1 AAx \in RR$ otteniamo:
[tex]|1+\xi|\le 1[/tex]
Questa disuguaglianza è soddisfatta se e solo se $-2<=\xi<=0$ ma $\xi$ non può assumere questi valori. Quello che vuoi dimostrare tu è molto più forte della tesi del tuo problema.
Per quanto riguarda il primo dubbio, immagini bene. Ad ogni modo quando ti trovi in difficoltà di questo tipo, io ti consiglio di guardare la tesi, in questo caso ad esempio la funzione $f$ deve essere almeno derivabile una volta, altrimenti non avrebbe senso $f'$ nella disuguaglianza
Caspita, non ci avevo pensato. In effetti non funziona con $f(x)=x$. Che fare allora? Qualcuno ha qualche idea geniale? Da dove può saltare fuori quell'$e^lambda$ della tesi? Ho anche pensato di studiare separatemente i due casi: $f " crescente in " (0,lambda)$ e $f " decrescente in " (0,lambda)$ ma non sono andato molto lontano...
Grazie a chiunque mi aiuterà.
P.S. Grazie anche per la conferma circa il significato della parola "derivabile", era proprio come pensavo.
P.P.S. Il problema è una traccia d'esame di uno scritto di Analisi I dello scorso aa. Non penso sia esageratamente difficile... bisognerebbe solo avere l'idea giusta.
Paolo, data l'osservazione di Mathematico è inutile sforzarsi di proseguire: la tua proposizione, così com'è enunciata, non vale.
Tuttavia è probabile che ci sia un errore nel testo. Dove l'hai reperito questo esercizio?
Tuttavia è probabile che ci sia un errore nel testo. Dove l'hai reperito questo esercizio?
"Gugo82":
Paolo, data l'osservazione di Mathematico è inutile sforzarsi di proseguire: la tua proposizione, così com'è enunciata, non vale.
Tuttavia è probabile che ci sia un errore nel testo. Dove l'hai reperito questo esercizio?
Grazie Gugo per la risposta. Chiedo scusa, perchè evidentemente non ho capito quello che intendeva Mathematico. Io pensavo che lui dicesse che era troppo pesante la mia maggiorazione: cioè, è inutile cercare funzioni tali che $|"quel qualcosa dei post di sopra"|<=|f(lambda)/lambda|$ perchè non riesco a trovarne, quindi è opportuno tenere la tesi con quell'$e^lambda$. Chiedo scusa, pensavo che il testo fosse corretto e fosse sbagliato il mio approccio, davvero, evidentemente non ci siamo capiti.
In ogni caso, l'esercizio è stato dato tale e quale alla sessione di Giugno di Analisi I lo scorso anno presso il mio ateneo. C'erano quattro esercizi "pratici" (per intenderci, studio di funzione, carattere di una serie da studiare, un integrale improprio, una ODE) e infine questo quesito di natura più teorica, con la clausola "Corretto soltanto se gli altri esercizi sono corretti".
Purtroppo non penso di potervelo linkare, perchè si trova in un area riservata del sito dell'uni, per cui ci vogliono id e pw per accedere...
Se il testo è sbagliato avete qualche idea di come correggerlo?
GRAZIE.
Avevi capito bene
Io volevo intendere che la strada che avevi scelto non andava bene.
Io volevo intendere che la strada che avevi scelto non andava bene.
Io proporrei di considerare la funzione derivabile $g:RR -> RR$ tale che $g(x)=e^xf(x) " " forall x in RR$
Essa soddisfa le condizioni del teorema di Lagrange in $[0,lambda] " " forall lambda>0$ fissato, pertanto $exists xi in (0,lambda)$ tale che $g'(xi)=(g(lambda)-g(0))/(lambda-0)$ da cui, tenendo conto che $g'(x)=e^xf(x)+e^xf'(x)$, si ha: $e^(xi)f(xi)+e^(xi)f'(xi)=e^(lambda)f(lambda)/(lambda)$ o meglio: $f(xi)+f'(xi)=(e^(lambda)f(lambda)/(lambda))1/(e^(xi))<=e^(lambda)f(lambda)/(lambda)$ essendo $xi>0$.
Similmente $f(xi)+f'(xi)>=-e^(lambda)f(lambda)/(lambda)$. Da cui la tesi.
Secondo me potrebbe funzionare.
Essa soddisfa le condizioni del teorema di Lagrange in $[0,lambda] " " forall lambda>0$ fissato, pertanto $exists xi in (0,lambda)$ tale che $g'(xi)=(g(lambda)-g(0))/(lambda-0)$ da cui, tenendo conto che $g'(x)=e^xf(x)+e^xf'(x)$, si ha: $e^(xi)f(xi)+e^(xi)f'(xi)=e^(lambda)f(lambda)/(lambda)$ o meglio: $f(xi)+f'(xi)=(e^(lambda)f(lambda)/(lambda))1/(e^(xi))<=e^(lambda)f(lambda)/(lambda)$ essendo $xi>0$.
Similmente $f(xi)+f'(xi)>=-e^(lambda)f(lambda)/(lambda)$. Da cui la tesi.
Secondo me potrebbe funzionare.
@ deserto, metti i moduli altrimenti non funzia... Ad ogni modo complimenti 
@ Mathematico e Paolo: Effettivamente avevo perso di vista il fatto che si stava parlando della maggiorazione $|f(xi)+f'(xi)|<= |f(lambda)|/lambda$ e non dell'enunciato del problema... Mea culpa. 
@ deserto: Bravo!
@ deserto: Bravo!
"Paolo90":
In ogni caso, l'esercizio è stato dato tale e quale alla sessione di Giugno di Analisi I lo scorso anno presso il mio ateneo.
Apperò!
Poi dici che non deve calarmi la depressione... il mio scritto di Analisi fu questo
http://www.dmi.unict.it/~fanciullo/19-06-09.pdf
Complimenti comunque a Deserto anche da parte mia!
Lascia stare Steven, non ti deprimere.
Pensa che io non ho mai fatto scritti di Analisi I e II, eppure...
Quello che conta è la passione, che ti porta a studiare anche ciò che non è richiesto per passare gli esami (e ad incazzarti se non te lo chiedono!); che ti porta a passare un'oretta su un problemino fesso per trarne qualche considerazione generale; che ti porta ad aiutare gli altri per chiarirti le idee; etc...
Pensa che io non ho mai fatto scritti di Analisi I e II, eppure...
Quello che conta è la passione, che ti porta a studiare anche ciò che non è richiesto per passare gli esami (e ad incazzarti se non te lo chiedono!); che ti porta a passare un'oretta su un problemino fesso per trarne qualche considerazione generale; che ti porta ad aiutare gli altri per chiarirti le idee; etc...
Caspita, che figo. Bello il problemino, mi era proprio sfuggita la possibilità di considerare la funzione per l'esponenziale... Bene, ho capito che ad Analisi I non si scherza, evidentemente .
Sarà meglio che mi metta sotto con lo studio, altrimenti il mio 19 me lo sogno
Grazie a tutti per l'aiuto.
P.S: @ Steve:
Che cosa diamine stai blaterando ? Ma ti pare che ti devi deprimere? E per cosa? Semmai ti devi deprimere perchè hai un amico tonto come il sottoscritto che non sa risolvere questo genere di problemi ... Non vedo altri motivi di depressione: Gugo ha ragione, ciò che conta è la passione e tu, giovanotto , ne hai da vendere... stai tranquillo e rilassati, sei uno in gamba (per quello che il mio parere possa contare). Con stima, my friend.
Paolo
. Sarà meglio che mi metta sotto con lo studio, altrimenti il mio 19 me lo sogno
Grazie a tutti per l'aiuto.
P.S: @ Steve:
Che cosa diamine stai blaterando
? Ma ti pare che ti devi deprimere? E per cosa? Semmai ti devi deprimere perchè hai un amico tonto come il sottoscritto che non sa risolvere questo genere di problemi ... Non vedo altri motivi di depressione: Gugo ha ragione, ciò che conta è la passione e tu, giovanotto , ne hai da vendere... stai tranquillo e rilassati, sei uno in gamba (per quello che il mio parere possa contare). Con stima, my friend.Paolo
"Paolo90":
[....] Semmai ti devi deprimere perchè hai un amico tonto come il sottoscritto che non sa risolvere questo genere di problemi
Siamo in due ad essere tonti
.. Però non credo tu non sappia risolverli, semplicemente non ti è venuta l'idea (come non è venuta a me).Quoto e sottoscrivo il discorso di Gugo
Concordo sostanzialmente con Mathematico.
Una cosa devo sapere, Gugo:
Non avevo mai sentito un cdl in mate dove non verificavamo con scritti Analisi1 o 2 !
A Catania ho saputo da un collega più grande che tipo la docente di Analisi3 (e 4?) faceva fare esami solo orali, ma su 1 e 2 non toglieva nessuno lo scritto!
Questa prassi era del tuo prof o del dipartimento di Na in Generale?
E un grosso grazie per l'incoraggiamento.
Una cosa devo sapere, Gugo:
Pensa che io non ho mai fatto scritti di analisi I e II, eppure..
Non avevo mai sentito un cdl in mate dove non verificavamo con scritti Analisi1 o 2 !
A Catania ho saputo da un collega più grande che tipo la docente di Analisi3 (e 4?) faceva fare esami solo orali, ma su 1 e 2 non toglieva nessuno lo scritto!
Questa prassi era del tuo prof o del dipartimento di Na in Generale?
E un grosso grazie per l'incoraggiamento.
"Steven":
Una cosa devo sapere, Gugo:
Pensa che io non ho mai fatto scritti di analisi I e II, eppure..
Non avevo mai sentito un cdl in mate dove non verificavamo con scritti Analisi1 o 2! [...]
Questa prassi era del tuo prof o del dipartimento di Na in Generale?
Era prassi del mio prof.
Chiedeva un esercizietto all'orale (figurati, mi ha fatto studiare la funzione [tex]\frac{\ln x}{x}[/tex] per Analisi I-B; mi ha fatto risolvere un problema di Cauchy tipo [tex]y^{\prime \prime} +y=\sin x[/tex] per Analisi II-A; e basta), poi due ore/due ore e mezza di teoria.
Però qui in dipartimento di solito lo scritto di Analisi I e II si fa (vedi gli esercizi di Fusco linkati tempo fa da qualcuno).
"Steven":
E un grosso grazie per l'incoraggiamento.
E di che?!?
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