Proprietà funzioni composte
Non so se è la sezione giusta nel caso sposterà il mod (grazie 
)
Il mio prof ha preparato una serie di domande guida per l'orale di matematica discreta, tra le varie ce ne sono alcune che non riesco a rispondere, due delle quali sono:
Date \(f : X \rightarrow Y\) e \(g : Y \rightarrow Z\), è vero o falso che \(g \circ f\) iniettiva implica \(f\) iniettiva? è vero o falso che \(g \circ f\) iniettiva implica \(g\) iniettiva? Spiegare.
Date \(f : X \rightarrow Y\) e \(g : Y \rightarrow Z\), è vero o falso che \(g \circ f\) surgettiva implica \(f\) surgettiva? è vero o falso che \(g \circ f\) iniettiva implica \(g\) surgettiva? Spiegare.
Avendo tutti gli appunti, posso assicurare che il prof non ha mai dimostrato questi fatti e sul libro/dispense non trovo nulla a riguardo
Ci dovrei arrivare a ragionamento... ma non ci arrivo (che sorpresa eh?)...
L'unica cosa che ho scritto sugli appunti è che :
Nel primo caso è che \(f\) è sicuramente iniettiva e \(g\) non lo è.
Nel secondo caso è che \(g\) è sicuramente surgettiva e \(f\) non lo è.
Come mai tutto ciò?
)Il mio prof ha preparato una serie di domande guida per l'orale di matematica discreta, tra le varie ce ne sono alcune che non riesco a rispondere, due delle quali sono:
Date \(f : X \rightarrow Y\) e \(g : Y \rightarrow Z\), è vero o falso che \(g \circ f\) iniettiva implica \(f\) iniettiva? è vero o falso che \(g \circ f\) iniettiva implica \(g\) iniettiva? Spiegare.
Date \(f : X \rightarrow Y\) e \(g : Y \rightarrow Z\), è vero o falso che \(g \circ f\) surgettiva implica \(f\) surgettiva? è vero o falso che \(g \circ f\) iniettiva implica \(g\) surgettiva? Spiegare.
Avendo tutti gli appunti, posso assicurare che il prof non ha mai dimostrato questi fatti e sul libro/dispense non trovo nulla a riguardo
Ci dovrei arrivare a ragionamento... ma non ci arrivo (che sorpresa eh?)...L'unica cosa che ho scritto sugli appunti è che :
Nel primo caso è che \(f\) è sicuramente iniettiva e \(g\) non lo è.
Nel secondo caso è che \(g\) è sicuramente surgettiva e \(f\) non lo è.
Come mai tutto ciò?
Risposte
per la prima :
Noi abbiamo che $f: X->Y$ e $g:Y->Z$
$gf : X->Z$ giusto? è una funzione definita ponendo per ogni $x in X : gf(x)=g(f(x))$
vogliamo provare che
$gf$ iniettiva $=>f$ iniettiva.
Per ipotesi $AA x,y in X : g(f(x))=g(f(y))=>$ { si sfrutta il fatto che $f(x),g(x) in Y$ e che $gf$ è iniettiva} $ f(x)=f(y) => ${si sfrutta il fatto che $gf $ è iniettiva}$=>x=y$
le ultime due implicazioni provano che anche $f$ è iniettiva.
Noi abbiamo che $f: X->Y$ e $g:Y->Z$
$gf : X->Z$ giusto? è una funzione definita ponendo per ogni $x in X : gf(x)=g(f(x))$
vogliamo provare che
$gf$ iniettiva $=>f$ iniettiva.
Per ipotesi $AA x,y in X : g(f(x))=g(f(y))=>$ { si sfrutta il fatto che $f(x),g(x) in Y$ e che $gf$ è iniettiva} $ f(x)=f(y) => ${si sfrutta il fatto che $gf $ è iniettiva}$=>x=y$
le ultime due implicazioni provano che anche $f$ è iniettiva.
Grazie mille per la risposta!
Ero in aula studio fino ad adesso quindi semmai la guardo/memorizzo meglio domani e se non capisco qualcosa (anche se ne dubito, hai fatto una dimostrazione perfetta mi sembra
) scrivo qui!
Grazie ancora!
Per la seconda forse un mio amico l'ha "risolta", nel caso mi torni tutto anche a me domani lo posto qui per chi in futuro si porrà questi quesiti
Ero in aula studio fino ad adesso quindi semmai la guardo/memorizzo meglio domani e se non capisco qualcosa (anche se ne dubito, hai fatto una dimostrazione perfetta mi sembra
) scrivo qui!Grazie ancora!
Per la seconda forse un mio amico l'ha "risolta", nel caso mi torni tutto anche a me domani lo posto qui per chi in futuro si porrà questi quesiti
Ottimo atteggiamento, ragazzi!
Bravo a entrambi.
Bravo a entrambi.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo