Proprietà esponenziale ad esponente reale
Sto cercando di dimostrare che anche per esponenti reali valga che $a^{x_1+x_2}=a^{x_1}a^{x_2}$, per ogni $x_1,x_2\in\mathbb{R}$ e con $a>0$.
Ho cominciato notando che, in altre parole, devo dimostrare questo:
$$\left(\lim_{\mathbb{Q}\ni r_1\to x_1}a^{r_1}\right) \cdot \left(\lim_{\mathbb{Q}\ni r_2\to x_2}a^{r_2}\right)=\left(\lim_{\mathbb{Q}\ni r\to x_1+x_2}a^{r}\right)$$
Dunque, considerando il membro di sinistra, posso dire che, dato $\epsilon>0$, esistono sicuramente $\delta_1$ e $\delta_2$ tali che:
$$\left\{\begin{matrix}
\left | r_1-x_1 \right |<\delta_1\Rightarrow \left | a^{x_1}-a^{r_1}\right |<\epsilon
\\
\left | r_2-x_2 \right |<\delta_2\Rightarrow \left | a^{x_2}-a^{r_2}\right |<\epsilon
\end{matrix}\right.$$
Moltiplicando la prima disuguaglianza per $|a^{x_2}|$ e la seconda per $|a^{r_1}|$ si arriva a poter affermare che fissato un qualunque $\epsilon>0$ esiste un $\delta$ ($\delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}$) tale che:
$$\left | a^{x_1}a^{x_2}-a^{r_1+r_2} \right |<\epsilon\left ( |a^{r_1}|+|a^{x_2}| \right )$$
per ogni $r_1+r_2$ in un intorno di $x_1+x_2$ di raggio $\delta$.
Avrei concluso qui, se la quantità \(\displaystyle \epsilon\left ( |a^{r_1}|+|a^{x_2}| \right ) \) non contenesse una dipendenza da $r_1$.
Non riesco a toglierla maggiorando ancora.
Uno spunto?
Grazie.
Ho cominciato notando che, in altre parole, devo dimostrare questo:
$$\left(\lim_{\mathbb{Q}\ni r_1\to x_1}a^{r_1}\right) \cdot \left(\lim_{\mathbb{Q}\ni r_2\to x_2}a^{r_2}\right)=\left(\lim_{\mathbb{Q}\ni r\to x_1+x_2}a^{r}\right)$$
Dunque, considerando il membro di sinistra, posso dire che, dato $\epsilon>0$, esistono sicuramente $\delta_1$ e $\delta_2$ tali che:
$$\left\{\begin{matrix}
\left | r_1-x_1 \right |<\delta_1\Rightarrow \left | a^{x_1}-a^{r_1}\right |<\epsilon
\\
\left | r_2-x_2 \right |<\delta_2\Rightarrow \left | a^{x_2}-a^{r_2}\right |<\epsilon
\end{matrix}\right.$$
Moltiplicando la prima disuguaglianza per $|a^{x_2}|$ e la seconda per $|a^{r_1}|$ si arriva a poter affermare che fissato un qualunque $\epsilon>0$ esiste un $\delta$ ($\delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}$) tale che:
$$\left | a^{x_1}a^{x_2}-a^{r_1+r_2} \right |<\epsilon\left ( |a^{r_1}|+|a^{x_2}| \right )$$
per ogni $r_1+r_2$ in un intorno di $x_1+x_2$ di raggio $\delta$.
Avrei concluso qui, se la quantità \(\displaystyle \epsilon\left ( |a^{r_1}|+|a^{x_2}| \right ) \) non contenesse una dipendenza da $r_1$.
Non riesco a toglierla maggiorando ancora.
Uno spunto?
Grazie.
Risposte
Probabilmente, devi seguire la dimostrazione della proprietà del limite del prodotto e adattarla al tuo caso.
Credo di aver già seguito il tuo consiglio, qui:
No?
Moltiplicando la prima disuguaglianza per \(\displaystyle |a^{x_2}| \) e la seconda per \(\displaystyle |a^{r_1}| \) si arriva a...
No?
Ciao,
poiché mi sembra che consideri il caso di limite finito, puoi sfruttare il fatto che la successione $a^(r_1)$ è limitata, perciò:
$| a^(r_1)| \leq $ sup ${ a^(r_1) } = M $
come nella la dimostrazione della proprietà del limite del prodotto suggerita da dissonance.
poiché mi sembra che consideri il caso di limite finito, puoi sfruttare il fatto che la successione $a^(r_1)$ è limitata, perciò:
$| a^(r_1)| \leq $ sup ${ a^(r_1) } = M $
come nella la dimostrazione della proprietà del limite del prodotto suggerita da dissonance.
Sì, alla fine ho risolto così, anche se quella non è una successione.
Ho utilizzato in sostanza il fatto che per il $\delta$ scelto posso scrivere che:
$$\epsilon (|a^{r_1}|+|a^{x_2}|)<\epsilon(a^{x_1}+\epsilon+|a^{x_2}|)$$
Grazie.
Ho utilizzato in sostanza il fatto che per il $\delta$ scelto posso scrivere che:
$$\epsilon (|a^{r_1}|+|a^{x_2}|)<\epsilon(a^{x_1}+\epsilon+|a^{x_2}|)$$
Grazie.
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