Proprietà elementari degli spazi normati di Riesz
Sto consultando Positive Operators di Aliprantis e Burkinshaw per una rapidissima infarinatura sui reticoli di Banach. Uno spazio vettoriale ordinato $E$ si dice un reticolo di Banach se è un reticolo (i.e. per ogni $x, y \in E$ esiste il minimo dei maggioranti $"sup"(x, y) \in E$ ed il massimo dei minoranti $"inf"(x, y) \in E$; si pone inoltre $|x|="sup"(x, -x)$) ed è normato con una norma di Banach $||*||$ tale che $|x| le |y| => ||x|| \le ||y||$.
Ora il testo dice che "è ovvia" questa proprietà: $||\ |x|\ ||=||x||$. E sarà certamente così ma io, che non sono passato dalla teoria di base, non lo vedo. Una mano?
Ora il testo dice che "è ovvia" questa proprietà: $||\ |x|\ ||=||x||$. E sarà certamente così ma io, che non sono passato dalla teoria di base, non lo vedo. Una mano?
Risposte
Scusa dissonance ma non puoi usare il fatto che [tex]$|x|=\Big| |x|\Big|$[/tex], ossia [tex]$|x|\leq \Big| |x| \Big| \leq |x|$[/tex]?
Se questa relazione fosse vera, la disuguaglianza tra norme implicherebbe [tex]$\lVert x \rVert \leq \Big\lVert |x| \Big\rVert \leq \lVert x\rVert$[/tex], giusto?
D'altra parte la relazione [tex]$|x|=\Big| |x| \Big|$[/tex] sembra plausibile anche in questa struttura astratta (perchè vale certamente in [tex]$\mathbb{R}$[/tex] col valore assoluto e queste strutture "esotiche" sono solo generalizzazioni di quanto già noto).
Se questa relazione fosse vera, la disuguaglianza tra norme implicherebbe [tex]$\lVert x \rVert \leq \Big\lVert |x| \Big\rVert \leq \lVert x\rVert$[/tex], giusto?
D'altra parte la relazione [tex]$|x|=\Big| |x| \Big|$[/tex] sembra plausibile anche in questa struttura astratta (perchè vale certamente in [tex]$\mathbb{R}$[/tex] col valore assoluto e queste strutture "esotiche" sono solo generalizzazioni di quanto già noto).
Si, funziona! $|\ |x|\ |=|x|$ è vero perché anche in queste strutture esotiche, come dici tu, c'è il concetto di "elemento positivo": un elemento è positivo se è più grande dell'origine (ovviamente). E il valore assoluto di un elemento positivo $x$ coincide con l'elemento stesso, perchè $-x le x$ e quindi $|x|="sup"(x, -x)=x$. Grazie Gugo.
Figurati, è sempre un piacere. 
Quando lavori con queste cose, fare un parallelo con quanto già conosci da [tex]$\mathbb{R}$[/tex] può sempre tornare utile.
Quando lavori con queste cose, fare un parallelo con quanto già conosci da [tex]$\mathbb{R}$[/tex] può sempre tornare utile.
"dissonance":Aliprantis
Aliprandis e Burkinshaw
ovvero:
Charalambos D. Aliprantis e Owen Burkinshaw
Tra l'altro, ho appena scoperto che Aliprantis è morto. Nel 2009. Non avevo mai avuto occasione di incontrarlo.
Corretto il nome di Aliprantis. Grazie.
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