Proprietà di media
Salve a tutti. Sto studiando il teorema della proprietà di media e non riesco a capire un passaggio. Il passaggio è il seguente:
$1/(2\pi)int_(0)^(2\pi) f(z_0+re^(j\theta))d\theta= 1/(2\pir)int_(|z-z_0|=r)^() f(z)ds $
Sapreste spiegarmi perchè? Grazie in anticipo.
$1/(2\pi)int_(0)^(2\pi) f(z_0+re^(j\theta))d\theta= 1/(2\pir)int_(|z-z_0|=r)^() f(z)ds $
Sapreste spiegarmi perchè? Grazie in anticipo.
Risposte
Ciao,
a me sembra che la cosa funzioni in questo modo
Nel membro a sinistra, tu prendi tutti i valori della funzione, nel piano complesso, su una circonferenza
centrata in \(\displaystyle z_0 \) e di raggio \(\displaystyle r \)e poi li normalizzi, nel senso:
se la funzione in questione valesse ovunque 1 tu avresti che
\(\displaystyle \int_{0}^{2 \pi} f(z_0 + r e^{j \theta})\,d\theta.\ = \int_{0}^{2 \pi} 1 \,d\theta.\ = 2 \pi\)
che naturalmente vuoi normalizzare anteponendo il termine \(\displaystyle \frac{1}{2 \pi} \)
Nel membro a destra si valuta la funzione negli stessi punti di prima, ovvero sempre su una circonferenza
centrata in \(\displaystyle z_0 \) e di raggio \(\displaystyle r \) con l'unica differenza che cambia il termine di normalizzazione:
prendiamo sempre il caso in cui la funzione valga 1 ovunque e avremo quindi
\(\displaystyle \int_{|z - z_0|=r} f(z)\,ds.\ = \int_{|z - z_0|=r} 1 \,ds\ = 2 \pi r\)
e quindi il termine di normalizzazione diventa \(\displaystyle \frac{1}{2 \pi r} \)
Ti torna ?
a me sembra che la cosa funzioni in questo modo
Nel membro a sinistra, tu prendi tutti i valori della funzione, nel piano complesso, su una circonferenza
centrata in \(\displaystyle z_0 \) e di raggio \(\displaystyle r \)e poi li normalizzi, nel senso:
se la funzione in questione valesse ovunque 1 tu avresti che
\(\displaystyle \int_{0}^{2 \pi} f(z_0 + r e^{j \theta})\,d\theta.\ = \int_{0}^{2 \pi} 1 \,d\theta.\ = 2 \pi\)
che naturalmente vuoi normalizzare anteponendo il termine \(\displaystyle \frac{1}{2 \pi} \)
Nel membro a destra si valuta la funzione negli stessi punti di prima, ovvero sempre su una circonferenza
centrata in \(\displaystyle z_0 \) e di raggio \(\displaystyle r \) con l'unica differenza che cambia il termine di normalizzazione:
prendiamo sempre il caso in cui la funzione valga 1 ovunque e avremo quindi
\(\displaystyle \int_{|z - z_0|=r} f(z)\,ds.\ = \int_{|z - z_0|=r} 1 \,ds\ = 2 \pi r\)
e quindi il termine di normalizzazione diventa \(\displaystyle \frac{1}{2 \pi r} \)
Ti torna ?
mmmmmmmmmm....c'è qualcosa che non mi torna! Cioè intuitivamente ho capito che dall'integrale deve venir fuori la lunghezza della circonferenza...ma non capisco come possa venir fuori! Inoltre sul mio libro dice che ha posto $rd\theta=ds$. Ma questi passaggi che il libro omette sono del tutto oscuri. Potresti gentilmente essere più chiaro?
Certamente allora,
anzitutto è chiaro come il dominio di integrazione del membro di destra sia una circonferenza sul piano complesso
dato che la condizione \(\displaystyle |z - z_0| = r \) individua tutti i punti a distanza \(\displaystyle r \)
da un punto \(\displaystyle z_0 \) e quindi si tratta proprio di una circonferenza.
In seguito, immaginiamo di parametrizzare questa curva, in cui \(\displaystyle r \) è fissato a priori,
al variare dell'angolo e quindi avremo che con \(\displaystyle \theta \in [0, 2 \pi] \) disegniamo tutta la curva
Ora immaginiamo di srotolare questa curva su una retta (quindi in Dimensione = 1)
questa volta per parametrizzarla useremo per forza una lunghezza di questo tipo \(\displaystyle s \in [0, 2 \pi r] \)
Per passare da una parametrizzazione all'altra, useremo la relazione che collega la lunghezza di un arco di circonferenza all'angolo sotteso, che per infinitesimi risulta essere \(\displaystyle ds = r d\theta \)
Quindi ricapitolando, i 2 membri sono uguali perchè:
- la funzione integranda viene valutata in entrambi i casi sugli stessi punti, ovvero su quelli della circonferenza sopra descritta
- il coefficiente di normalizzazione davanti all'integrale, viene opportunamente modificato per tenere conto della diversa parametrizzazione nei 2 casi
Si capisce un po' meglio ?
anzitutto è chiaro come il dominio di integrazione del membro di destra sia una circonferenza sul piano complesso
dato che la condizione \(\displaystyle |z - z_0| = r \) individua tutti i punti a distanza \(\displaystyle r \)
da un punto \(\displaystyle z_0 \) e quindi si tratta proprio di una circonferenza.
In seguito, immaginiamo di parametrizzare questa curva, in cui \(\displaystyle r \) è fissato a priori,
al variare dell'angolo e quindi avremo che con \(\displaystyle \theta \in [0, 2 \pi] \) disegniamo tutta la curva
Ora immaginiamo di srotolare questa curva su una retta (quindi in Dimensione = 1)
questa volta per parametrizzarla useremo per forza una lunghezza di questo tipo \(\displaystyle s \in [0, 2 \pi r] \)
Per passare da una parametrizzazione all'altra, useremo la relazione che collega la lunghezza di un arco di circonferenza all'angolo sotteso, che per infinitesimi risulta essere \(\displaystyle ds = r d\theta \)
Quindi ricapitolando, i 2 membri sono uguali perchè:
- la funzione integranda viene valutata in entrambi i casi sugli stessi punti, ovvero su quelli della circonferenza sopra descritta
- il coefficiente di normalizzazione davanti all'integrale, viene opportunamente modificato per tenere conto della diversa parametrizzazione nei 2 casi
Si capisce un po' meglio ?
diciamo...il fatto è che non ne sono convinto. Ma grazie comunque per l'aiuto 
EDIT: anche io avevo pensato al fatto che $ds=rd\theta$ per valori infinitesimi, ossia per archi di circonf infinitesimi...ma comunque non mi trovo con il risultato.
EDIT: anche io avevo pensato al fatto che $ds=rd\theta$ per valori infinitesimi, ossia per archi di circonf infinitesimi...ma comunque non mi trovo con il risultato.
OK, provo a porla in questo modo
Tu stai integrando secondo Riemann la funzione \(\displaystyle f(z) \)
Immagino di costruire una situazione di questo tipo:
Per Membro a Sinistra
Sul Piano Cartesiano individui sulle x intervallo \(\displaystyle [0, 2 \pi] \) e sulle y i valori di \(\displaystyle f(z) \)
opportunamente selezionati e ciascuno corrispondente al relativo valore \(\displaystyle \theta \)
A quel punto è solo una questione di Integrazione Numerica secondo Riemann di una funzione,
immaginatela come calcolare le aree dei rettangoli a base sempre più piccola ...
Per Membro di Destra
Fai praticamente la stessa cosa di prima, solo che cambi intervallo sulle x il quale questa volta sarà \(\displaystyle [0, 2 \pi r] \) e sulle y metti sempre i vari valori di \(\displaystyle f(z) \) opportunamente associati ai valori sulle x
Nuovamente Integri secondo Riemann per cui di fatto calcoli ancora l'Area sottesa dalla Funzione
In entrambi i casi poi normalizzi il risultato moltiplicando per un opportuno coefficiente ...
Cosa ne pensi ?
Tu stai integrando secondo Riemann la funzione \(\displaystyle f(z) \)
Immagino di costruire una situazione di questo tipo:
Per Membro a Sinistra
Sul Piano Cartesiano individui sulle x intervallo \(\displaystyle [0, 2 \pi] \) e sulle y i valori di \(\displaystyle f(z) \)
opportunamente selezionati e ciascuno corrispondente al relativo valore \(\displaystyle \theta \)
A quel punto è solo una questione di Integrazione Numerica secondo Riemann di una funzione,
immaginatela come calcolare le aree dei rettangoli a base sempre più piccola ...
Per Membro di Destra
Fai praticamente la stessa cosa di prima, solo che cambi intervallo sulle x il quale questa volta sarà \(\displaystyle [0, 2 \pi r] \) e sulle y metti sempre i vari valori di \(\displaystyle f(z) \) opportunamente associati ai valori sulle x
Nuovamente Integri secondo Riemann per cui di fatto calcoli ancora l'Area sottesa dalla Funzione
In entrambi i casi poi normalizzi il risultato moltiplicando per un opportuno coefficiente ...
Cosa ne pensi ?
Si. Il ragionamento è coerente, ma cosi mi sorgono altre domande tipo: perchè devo cambiare l'intervallo di integrazione?
In altre parole: come si risolve questo integrale $int_(0)^(2\pi) f(z_0+re^(j\theta))d\theta$ ????
Secondo me è qui la risposta...solo che non riesco a capire come svolgere quest'integrale!
In sostanza lui ha moltiplicato e diviso per $r$ ma non capisco il perchè di questo passaggio. Perchè voleva che dentro l'integrale ci fosse $r$??? Non riesco a spiegarmelo.
P.S. Ops..o.O... ma vuoi vedere che non ha fatto altro che ritornare alla notazione precedente? cioè lui ha posto $z=z_0+re^(j\theta)$ per $|z-z_0|=r$ dunque ha fatto:
$1/(2\pi) int_(0)^(2\pi) (f(z_0+re^(j\theta))r)/r d\theta= 1/(2\pir) int_()^(|z-z_0|=r) f(z)ds$
e quindi ha posto $rd\theta=ds$.
Sono giusti i passaggi?
In altre parole: come si risolve questo integrale $int_(0)^(2\pi) f(z_0+re^(j\theta))d\theta$ ????
Secondo me è qui la risposta...solo che non riesco a capire come svolgere quest'integrale!
In sostanza lui ha moltiplicato e diviso per $r$ ma non capisco il perchè di questo passaggio. Perchè voleva che dentro l'integrale ci fosse $r$??? Non riesco a spiegarmelo.
P.S. Ops..o.O... ma vuoi vedere che non ha fatto altro che ritornare alla notazione precedente? cioè lui ha posto $z=z_0+re^(j\theta)$ per $|z-z_0|=r$ dunque ha fatto:
$1/(2\pi) int_(0)^(2\pi) (f(z_0+re^(j\theta))r)/r d\theta= 1/(2\pir) int_()^(|z-z_0|=r) f(z)ds$
e quindi ha posto $rd\theta=ds$.
Sono giusti i passaggi?
Passaggio da coordinate polari a cordinate cartesiane.
aaaahhh lo sapevo....cavoli mi stavo impappinando per niente xD. Grazie come sempre gugo. Comunque i passaggi che ho postato sono giusti?
Certo.
Ok grazie mille
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