Proprietà di estremi superiori e inferiori
Ciao a tutti,
sto cercando di provare alcune proprietà degli estremi superiori e inferiori di insiemi. Mi aiutate?
Premessa: non capisco la notazione. Ho assunto che l'estremo superiore o inferiore di un singolo elemento di un insieme sia in realtà quello dell'insieme in cui sta questo elemento.
Si hanno due insiemi $A$ e $B$ e due generici elementi $ \alpha in A $ e $ \beta in B $. Le proprietà da dimostrare sono queste:
[list=1]
[*:ssz0ei54] $ Sup( \alpha + \beta ) = Sup( \alpha ) + Sup( \beta ) $ e $ Inf( \alpha + \beta ) = Inf( \alpha ) + Inf( \beta ) $[/*:m:ssz0ei54]
[*:ssz0ei54] $ Sup( \alpha \beta ) = Sup( \alpha ) Sup( \beta ) $ e $ Inf( \alpha \beta ) = Inf( \alpha ) Inf( \beta ) $ se $ \alpha , \beta > 0 $[/*:m:ssz0ei54]
[*:ssz0ei54] $ Sup( - \alpha ) = - Inf( \alpha ) $ e $ Inf( - \alpha ) = - Sup( \alpha ) $[/*:m:ssz0ei54]
[*:ssz0ei54] $ Sup( 1/ \alpha ) = 1 / (Inf( \alpha )) $ e $ Inf( 1/ \alpha ) = 1 / (Sup( \alpha )) $ se $ \alpha > 0 $ e $ Inf( \alpha) > 0 $[/*:m:ssz0ei54]
[*:ssz0ei54] se $ A sube B $ allora $ Inf(B) <= Inf(A) <= Sup(A) <= Sup(B) $[/*:m:ssz0ei54]
[*:ssz0ei54] se $ AA \alpha in A$ $EE \beta in B $ tale che $ \alpha <= \beta $, allora $ Sup( \alpha ) <= Sup( \beta) $[/*:m:ssz0ei54]
[*:ssz0ei54] se $ AA \alpha in A$ $EE \beta in B $ tale che $ \alpha >= \beta $, allora $ Inf( \alpha ) >= Inf( \beta) $[/*:m:ssz0ei54][/list:o:ssz0ei54]
La prima uguaglianza della proprietà 1 è dimostrata anche sul mio testo, ma non ho capito bene un passaggio:
[list=a]
[*:ssz0ei54] Si ha che $ \alpha <= Sup( \alpha ) $ $ AA \alpha in A $ e $ \beta <= Sup( \beta ) $ $ AA \beta in B$. E Fin qui ok, dato che sono semplicissime disuguaglianze che discendono dalla definizione degli estremi.[/*:m:ssz0ei54]
[*:ssz0ei54] Segue che l'insieme delle somme $ \alpha + \beta $ ammette come maggiorante $ Sup( \alpha ) + Sup( \beta ) $. Perché segue ciò? Non l'ho proprio capito. Quindi possiamo scrivere che $ Sup( \alpha + \beta ) <= Sup( \alpha ) + Sup( \beta ) $.[/*:m:ssz0ei54]
[*:ssz0ei54] Non può valere il segno $<$, poiché altrimenti esisterebbero $ bar( \alpha ) $ e $ bar( \beta ) $ tali che $ bar( \alpha ) + bar( \beta) > \alpha + \beta $ $ AA \alpha, \beta $. ASSURDO. Anche qui mi sfugge il nesso. Cioè, chi me lo dice che non possono esserci due elementi che si infilano tra $ \alpha $ e il suo estremo superiore e $ \beta $ e il suo estremo superiore?[/*:m:ssz0ei54][/list:o:ssz0ei54]
Grazie a chi mi vorrà aiutare
sto cercando di provare alcune proprietà degli estremi superiori e inferiori di insiemi. Mi aiutate?
Premessa: non capisco la notazione. Ho assunto che l'estremo superiore o inferiore di un singolo elemento di un insieme sia in realtà quello dell'insieme in cui sta questo elemento.
Si hanno due insiemi $A$ e $B$ e due generici elementi $ \alpha in A $ e $ \beta in B $. Le proprietà da dimostrare sono queste:
[list=1]
[*:ssz0ei54] $ Sup( \alpha + \beta ) = Sup( \alpha ) + Sup( \beta ) $ e $ Inf( \alpha + \beta ) = Inf( \alpha ) + Inf( \beta ) $[/*:m:ssz0ei54]
[*:ssz0ei54] $ Sup( \alpha \beta ) = Sup( \alpha ) Sup( \beta ) $ e $ Inf( \alpha \beta ) = Inf( \alpha ) Inf( \beta ) $ se $ \alpha , \beta > 0 $[/*:m:ssz0ei54]
[*:ssz0ei54] $ Sup( - \alpha ) = - Inf( \alpha ) $ e $ Inf( - \alpha ) = - Sup( \alpha ) $[/*:m:ssz0ei54]
[*:ssz0ei54] $ Sup( 1/ \alpha ) = 1 / (Inf( \alpha )) $ e $ Inf( 1/ \alpha ) = 1 / (Sup( \alpha )) $ se $ \alpha > 0 $ e $ Inf( \alpha) > 0 $[/*:m:ssz0ei54]
[*:ssz0ei54] se $ A sube B $ allora $ Inf(B) <= Inf(A) <= Sup(A) <= Sup(B) $[/*:m:ssz0ei54]
[*:ssz0ei54] se $ AA \alpha in A$ $EE \beta in B $ tale che $ \alpha <= \beta $, allora $ Sup( \alpha ) <= Sup( \beta) $[/*:m:ssz0ei54]
[*:ssz0ei54] se $ AA \alpha in A$ $EE \beta in B $ tale che $ \alpha >= \beta $, allora $ Inf( \alpha ) >= Inf( \beta) $[/*:m:ssz0ei54][/list:o:ssz0ei54]
La prima uguaglianza della proprietà 1 è dimostrata anche sul mio testo, ma non ho capito bene un passaggio:
[list=a]
[*:ssz0ei54] Si ha che $ \alpha <= Sup( \alpha ) $ $ AA \alpha in A $ e $ \beta <= Sup( \beta ) $ $ AA \beta in B$. E Fin qui ok, dato che sono semplicissime disuguaglianze che discendono dalla definizione degli estremi.[/*:m:ssz0ei54]
[*:ssz0ei54] Segue che l'insieme delle somme $ \alpha + \beta $ ammette come maggiorante $ Sup( \alpha ) + Sup( \beta ) $. Perché segue ciò? Non l'ho proprio capito. Quindi possiamo scrivere che $ Sup( \alpha + \beta ) <= Sup( \alpha ) + Sup( \beta ) $.[/*:m:ssz0ei54]
[*:ssz0ei54] Non può valere il segno $<$, poiché altrimenti esisterebbero $ bar( \alpha ) $ e $ bar( \beta ) $ tali che $ bar( \alpha ) + bar( \beta) > \alpha + \beta $ $ AA \alpha, \beta $. ASSURDO. Anche qui mi sfugge il nesso. Cioè, chi me lo dice che non possono esserci due elementi che si infilano tra $ \alpha $ e il suo estremo superiore e $ \beta $ e il suo estremo superiore?[/*:m:ssz0ei54][/list:o:ssz0ei54]
Grazie a chi mi vorrà aiutare
Risposte
Non è che sul tuo libro c'è scritto
[tex]$\sup_{\alpha \in A} \alpha[/tex]?
Questa scrittura è una versione alternativa di
[tex]$\sup A[/tex].
Parlare di "sup di un singolo numero" non ha senso, il sup si fa di un insieme di numeri reali (eventualmente includendo [tex]\pm \infty[/tex]).
[tex]$\sup_{\alpha \in A} \alpha[/tex]?
Questa scrittura è una versione alternativa di
[tex]$\sup A[/tex].
Parlare di "sup di un singolo numero" non ha senso, il sup si fa di un insieme di numeri reali (eventualmente includendo [tex]\pm \infty[/tex]).
No no, c'è proprio [tex]$\sup {\alpha}$[/tex]. Infatti questa notazione mi sembra orribile!
Le proprietà le ho copiate pari-pari... se non ti fidi ti passo una scansione xD
EDIT: sul sito dell'autore c'è una copia del libro in versione PDF (strano, il libro è regolarmente in vendita...). Se vai a pagina 20 del libro (pagina 30 nel PDF) trovi le proprietà
EDIT 2: comunque nelle premessa specifica che $\alpha$ è un generico valore di $A$, quindi magari omette di scriverlo... Boh, che stranezza!
Le proprietà le ho copiate pari-pari... se non ti fidi ti passo una scansione xD
EDIT: sul sito dell'autore c'è una copia del libro in versione PDF (strano, il libro è regolarmente in vendita...). Se vai a pagina 20 del libro (pagina 30 nel PDF) trovi le proprietà
EDIT 2: comunque nelle premessa specifica che $\alpha$ è un generico valore di $A$, quindi magari omette di scriverlo... Boh, che stranezza!
Comunque, ho capito il punto b della dimostrazione: il fatto che $ \alpha + \beta <= Sup( \alpha) + Sup( \beta ) $ si ha per una proprietà delle disuguaglianze. Quindi la somma di $ \alpha $ e $ \beta $ è maggiorata dalla somma dei loro sup. E siccome per definizione il sup è il minimo dei maggioranti posso dire che vale sempre $ \alpha + \beta <= Sup( \alpha + \beta ) <= Sup( \alpha) + Sup( \beta ) $.
Resta da capire come si dimostra che vale solo l'uguaglianza!
Resta da capire come si dimostra che vale solo l'uguaglianza!
Prendiamo due insiemi $A, B$ di numeri reali estesi ($RR uu {+-\infty}$); sia $A+B={a+b\ :\ a\in A, b \in B}$. Allora certamente
$"sup"(A+B) \le "sup"(A)+"sup"(B)$
perché è
$a \le "sup"(A),\ \forall a \in A$,
$b \le "sup"(B),\ \forall b \in B$, quindi
$a+b \le "sup"(A)+"sup"(B),\ \forall a\in A, b \in B$ e passando al sup
$"sup"(A+B)\le "sup"(A)+"sup"(B)$.
E fin qui ci siamo. Se uno tra $A, B$ non è limitato superiormente, anche $A+B$ non è limitato superiormente e non c'è altro da fare ($"sup"(A+B)=+\infty="sup"(A)+"sup"(B)$). Altrimenti sia $epsilon>0$. Esistono sicuramente $a_0\in A, b_0\in B$ tali che
$"sup"(A)-\epsilon \le a_0$,
$"sup"(B)-\epsilon \le b_0$, da cui
$"sup"(A)+"sup"(B) -2\epsilon \le a_0+b_0 \in A+B$.
In conclusione $"sup"(A)+"sup"(B)$ è un maggiorante di $A+B$ ma è anche aderente ad $A+B$, quindi ne è il sup.
__________
ATTENZIONE! Capita spesso di usare questa disuguaglianza:
date funzioni $f, g:A \to RR$,
$"sup"{f(t)+g(t)\ :\ t \in A}\le "sup"{f(t)\ :\ t \in A}+"sup"{g(t)\ :\ t \in B}$.
Qui NON vale l'uguaglianza, in generale. Non ti confondere con l'identità di sopra.
$"sup"(A+B) \le "sup"(A)+"sup"(B)$
perché è
$a \le "sup"(A),\ \forall a \in A$,
$b \le "sup"(B),\ \forall b \in B$, quindi
$a+b \le "sup"(A)+"sup"(B),\ \forall a\in A, b \in B$ e passando al sup
$"sup"(A+B)\le "sup"(A)+"sup"(B)$.
E fin qui ci siamo. Se uno tra $A, B$ non è limitato superiormente, anche $A+B$ non è limitato superiormente e non c'è altro da fare ($"sup"(A+B)=+\infty="sup"(A)+"sup"(B)$). Altrimenti sia $epsilon>0$. Esistono sicuramente $a_0\in A, b_0\in B$ tali che
$"sup"(A)-\epsilon \le a_0$,
$"sup"(B)-\epsilon \le b_0$, da cui
$"sup"(A)+"sup"(B) -2\epsilon \le a_0+b_0 \in A+B$.
In conclusione $"sup"(A)+"sup"(B)$ è un maggiorante di $A+B$ ma è anche aderente ad $A+B$, quindi ne è il sup.
__________
ATTENZIONE! Capita spesso di usare questa disuguaglianza:
date funzioni $f, g:A \to RR$,
$"sup"{f(t)+g(t)\ :\ t \in A}\le "sup"{f(t)\ :\ t \in A}+"sup"{g(t)\ :\ t \in B}$.
Qui NON vale l'uguaglianza, in generale. Non ti confondere con l'identità di sopra.
@dissonance: Io avrei preso [tex]$\tfrac{\varepsilon}{2}$[/tex]... 
Già. Quando parlo con te mi sembra sempre di essere, matematicamente parlando, un rozzone.
Grazie dissonance. Un paio di domande:
Passando al sup? Perché puoi farlo?
Come passi da questo a dire che $ "sup"(A)+"sup"(B) <= "sup"(A+B) $?
"dissonance":
$a+b \le "sup"(A)+"sup"(B),\ \forall a\in A, b \in B$ e passando al sup
$"sup"(A+B)\le "sup"(A)+"sup"(B)$.
Passando al sup? Perché puoi farlo?
"dissonance":
$"sup"(A)+"sup"(B) -2\epsilon \le a_0+b_0 \in A+B$.
Come passi da questo a dire che $ "sup"(A)+"sup"(B) <= "sup"(A+B) $?
1) "Passando al sup" è una locuzione abbreviata per:
"essendo $"sup"(A)+"sup"(B)$ un maggiorante di $A+B$, $"sup"(A+B)\le "sup"(A)+"sup"(B)$".
2) Volendo si potrebbe, appunto, passare di nuovo al sup. Da $"sup"(A)+"sup"(B)-2epsilon \le a_0+b_0$ segue che $"sup"(A)+"sup"(B)-2epsilon \le "sup"(A+B)$ (perché ovviamente $a_0+b_0 \le "sup"(A+B)$); ovvero anche questa disuguaglianza si prolunga al sup (è questo il senso della locuzione informale "passando al sup").
Siccome la disuguaglianza di sopra vale per ogni $epsilon>0$, essa si prolunga a $"sup"(A)+"sup"(B) \le "sup"(A+B)$ per $epsilon\to 0$ (teorema di prolungamento delle disuguaglianze).
Io però avevo seguito una strada (apparentemente) diversa, prima: ho usato una caratterizzazione del sup secondo cui
$s="sup"X$ se e solo se $s$ è un maggiorante di $X$ e, nel caso in cui $X$ è limitato superiormente, per ogni $epsilon>0$ esiste un elemento $x_epsilon\inX$ tale che $s-epsilon <=x_epsilon$, proprietà che si enuncia a parole dicendo che $s$ è aderente ad $X$.
"essendo $"sup"(A)+"sup"(B)$ un maggiorante di $A+B$, $"sup"(A+B)\le "sup"(A)+"sup"(B)$".
2) Volendo si potrebbe, appunto, passare di nuovo al sup. Da $"sup"(A)+"sup"(B)-2epsilon \le a_0+b_0$ segue che $"sup"(A)+"sup"(B)-2epsilon \le "sup"(A+B)$ (perché ovviamente $a_0+b_0 \le "sup"(A+B)$); ovvero anche questa disuguaglianza si prolunga al sup (è questo il senso della locuzione informale "passando al sup").
Siccome la disuguaglianza di sopra vale per ogni $epsilon>0$, essa si prolunga a $"sup"(A)+"sup"(B) \le "sup"(A+B)$ per $epsilon\to 0$ (teorema di prolungamento delle disuguaglianze).
Io però avevo seguito una strada (apparentemente) diversa, prima: ho usato una caratterizzazione del sup secondo cui
$s="sup"X$ se e solo se $s$ è un maggiorante di $X$ e, nel caso in cui $X$ è limitato superiormente, per ogni $epsilon>0$ esiste un elemento $x_epsilon\inX$ tale che $s-epsilon <=x_epsilon$, proprietà che si enuncia a parole dicendo che $s$ è aderente ad $X$.
Ok, grazie mille dei chiarimenti, ora ho capito tutto. Resta spiegare la dimostrazione del mio testo, il cui punto c mi risulta ignoto...
Più o meno credo di averla capita. Ora non mi resta che provare le altre proprietà. Suggerimenti? xD
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