Proprietà di densità di $RR$

[Sk_Anonymous]

domanda su dimostrazione del teorema di densità di $RR$
$RR$ è un corpo ordinato archimedeo perchè oltre alle usuali proprietà degli insiemi numerici vale la proprietà di archimede:
(1)$AA x,y>0 EE n in NN | nx>=y
e sua conseguenza:
(2)$AA x>0 EE n in NN | x>10^(-n)
infatti preso $y=1$ nella (1) esiste $ninNN$ tale che $nx>=1$ ed essendo $n<10^n$ risulta $10^nx>1$

teorema:
$AA x,y in RR|x esistono infiniti numeri razionali z tali che $x esistono infiniti numeri irrazionali z tali che $x dimostrazione:
per la positività di $y-x$ e per la (2) esiste $n_0 in NN$ tale che $y-x>2*10^(-n_0)
supponiamo $x>=0$, quindi esiste un allineamento decimale limitato $p.beta_1beta_2...beta_(n_0)$tale che
$p.beta_1beta_2...beta_(n_0)<=x posto $p.alpha_1alpha_2...alpha_(n_0) := p.beta_1beta_2...beta_(n_0) + 10^(-n_0)$ si ha:
$x allora ogni allineamento decimale nella forma $z=p.alpha_1...alpha_(n_0)gamma_(n_0+1)gamma_(n_0+2)... $verifica $x
perchè mette $y-x>2*10^(-n_0)$ e non $>10^(-n_0)$???

[Sk_Anonymous]

ci ho riflettuto su questi giorni ma non ho concluso niente.... qualcuno potrebbe gentilmente spiegarmi questo 'cavillo dimostrativo'?

[Sk_Anonymous]

probabilmente siccome devo trovare un allineamento decimale limitato tale che mi sia verificato:
$x allora la $y-x>2*10^(-n_0)$ mi garantisce che tutti gli allineamenti decimali in questa forma soddisfano la relazione precedente...

[Sk_Anonymous]

scusate l'insistenza ma ancora mi devo abituare a queste dimostrazioni:
lemma (esistenza di $sqrt2$ in $RR$)
$EE! x in RR^+|x^2=2$

siano $A={s inRR|s^2<2}$ e $x=$sup$A$. dal teorema della completezza di $RR$ x è ben definito, infatti A è limitato superiormente e $A!=O/$ ($1inA$) e chiaramente $1 per dimostrare che $x^2=2$ basta provare:
a)$x^2<=2$ b)$x^2>=2
procediamo per assurdo: se a) fosse falsa, allora $x^2>2$ e quindi $EEepsilon>0 : x^2>2+epsilon$. da ciò segue che:
$EE n_0 in NN : {(x-10^(-n_0)>0),((x-10^(-n_0))^2>2):}
ma se così fosse $x-10^(-n_0)$ sarebbe un maggiorante di A il che contraddice i fatto che x è sup di A
resta dunque da dimostrare che esiste un tale n_0. poichè x>1 è evidente che:
$AAninNN : x-10^(-n_0)>0
sia $n_0inNN$ allora
$(x-10^(-n_0))^2=x^2-2*10^(-n_0)x+10^(-2n_0)>2+epsilon-4*10^(-n_0)
da dove sbuca fuori quest'ultima relazione????????

[Fioravante Patrone1]

"micheletv":
$(x-10^(-n_0))^2=x^2-2*10^(-n_0)x+10^(-2n_0)>2+epsilon-4*10^(-n_0)
da dove sbuca fuori quest'ultima relazione????????

$x^2-2*10^(-n_0)x+10^(-2n_0)>2+epsilon-4*10^(-n_0)$
viene da:

$x^2>2+epsilon$ che è postulata prima

e da:

$-2*10^(-n_0)x+10^(-2n_0)> -4*10^(-n_0)$

ovvero

$2*10^(-n_0)x+10^(-2n_0)> 0$

controlla! Con i conti sono uno 0...

Per quanto riguarda il tuo precedente post, la tua autospiegazione mi sembra sensata.