Proprietà di Darboux ed esistenza della primitiva
Sapendo che se una funzione ammette primitiva su un intervallo allora soddisfa la proprietà di Darboux (dei valori intermedi) su quell'intervallo, sto cercando un esempio di funzione che abbia tale proprietà, ma che non ammetta primitiva.
Qualcuno saprebbe aiutarmi?
Qualcuno saprebbe aiutarmi?
Risposte
La funzione
\[
f(x) = \begin{cases}
\sin(1/x), & se\ x\neq 0,\\
a, & se\ x=0,
\end{cases}
\]
è una funzione di Darboux per ogni $a\in [-1,1]$, ma è una derivata solo per $a=0$.
\[
f(x) = \begin{cases}
\sin(1/x), & se\ x\neq 0,\\
a, & se\ x=0,
\end{cases}
\]
è una funzione di Darboux per ogni $a\in [-1,1]$, ma è una derivata solo per $a=0$.
E va bene anche se la sua primitiva non si calcola normalmente, giusto?
Altra domanda, proprietà di Darboux implica R-integrabilità? No, vero? Avresti un esempio anche di funzione di Darboux che non sia integrabile?
Grazie!
Altra domanda, proprietà di Darboux implica R-integrabilità? No, vero? Avresti un esempio anche di funzione di Darboux che non sia integrabile?
Grazie!
Esistono funzioni di Darboux discontinue su insiemi di misura positiva (quindi non R-integrabili).
Ad esempio, sia $E\subset [a,b]$ un insieme perfetto mai denso (pensa a un cantoriano di misura positiva in $[0,1]$).
Assumiamo $a,b\in E$, e sia $[a,b]\setminus E = \cup_{k=1}^\infty (a_k, b_k)$.
Definiamo la funzione $f:[a,b]\to\RR$ t.c.
\[
f(x) = \begin{cases}
2 \frac{x-a_k}{b_k-a_k}-1, & se\ x\in [a_k, b_k],\\
0, & altrimenti.
\end{cases}
\]
Si può dimostrare che $f$ è una funzione di Darboux, discontinua in ogni punto di $E$.
Ad esempio, sia $E\subset [a,b]$ un insieme perfetto mai denso (pensa a un cantoriano di misura positiva in $[0,1]$).
Assumiamo $a,b\in E$, e sia $[a,b]\setminus E = \cup_{k=1}^\infty (a_k, b_k)$.
Definiamo la funzione $f:[a,b]\to\RR$ t.c.
\[
f(x) = \begin{cases}
2 \frac{x-a_k}{b_k-a_k}-1, & se\ x\in [a_k, b_k],\\
0, & altrimenti.
\end{cases}
\]
Si può dimostrare che $f$ è una funzione di Darboux, discontinua in ogni punto di $E$.
Purtroppo non ho ancora studiato la teoria della misura e ancora non intendo bene ciò a cui ti riferisci.. 
Comunque grazie mille dell'esempio, ci rifletterò su!
Comunque grazie mille dell'esempio, ci rifletterò su!
L'esempio è correlato al seguente teorema:
Un insieme $E\subset\RR$ ha misura nulla se, per ogni $\epsilon > 0$, esiste una famiglia numerabile di intervalli aperti $I_n\subset\RR$ tale che $E\subset \cup_n I_n$, e $\sum_n |I_n| < \epsilon$, dove $|I_n|$ indica la lunghezza (misura) dell'intervallo $I_n$.
Una funzione limitata $f:[a,b]\to\RR$ è Riemann-integrabile se e solo se l'insieme dei suoi punti di discontinuità ha misura (di Lebesgue) nulla.
Un insieme $E\subset\RR$ ha misura nulla se, per ogni $\epsilon > 0$, esiste una famiglia numerabile di intervalli aperti $I_n\subset\RR$ tale che $E\subset \cup_n I_n$, e $\sum_n |I_n| < \epsilon$, dove $|I_n|$ indica la lunghezza (misura) dell'intervallo $I_n$.
Conoscevo quel teorema solo per fama, grazie anche per la definizione, però ora sono costretto a farti un'altra domanda! 
Da quello che leggo mi viene da pensare che un insieme ha misura nulla soltanto se è fatto di soli punti isolati, però poi mi viene in mente l'insieme di Cantor, che ha misura nulla eppure è perfetto. Mi puoi fare un esempio di un altro insieme avente misura nulla, fatto non solo di punti isolati e costruito in modo diverso dall'insieme di Cantor? Poi giuro che per oggi ho finito!
Da quello che leggo mi viene da pensare che un insieme ha misura nulla soltanto se è fatto di soli punti isolati, però poi mi viene in mente l'insieme di Cantor, che ha misura nulla eppure è perfetto. Mi puoi fare un esempio di un altro insieme avente misura nulla, fatto non solo di punti isolati e costruito in modo diverso dall'insieme di Cantor? Poi giuro che per oggi ho finito!
Puoi prendere un qualsiasi insieme numerabile (anche se denso); ad esempio, $[0,1]\cap\QQ$ (o anche tutto $\QQ$) ha misura nulla.
Gli insiemi cantoriani hanno invece la potenza del continuo.
Gli insiemi cantoriani hanno invece la potenza del continuo.
Ma quindi un insieme cantoriano è un insieme costruito in modo simile all'insieme di cantor?
Sì.
Al posto di togliere un terzo ad ogni passo, puoi togliere una frazione diversa.
Al posto di togliere un terzo ad ogni passo, puoi togliere una frazione diversa.
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