Proprietà Delta di Dirac

[Light_1]

Salve a tutti ,
mi sono imbattuto in questo passaggio che non mi riesco a giustificare.

Allora ho

$ int_(0)^(a) int_(0)^(a) dx_1dx_2sin^2((pix_1)/a )sin^2((pix_2)/a )delta(x_1-x_2)= $

$ int_(0)^(a) dxsin^4(pix/a ) $

Non riesco a capire ,
studiando fisica , m' è subito venuto in mento di fare qualche sostituzione, del tipo

$ x_1-x_2=xrArr delta(x_1-x_2)=delta(x) $ ù

tuttavia non sono poi riuscito ad andare avanti.

Grazie per l'aiuto.

[gugo82]

Detta \(\phi (x) := \sin^2 \frac{\pi x}{a} \), usando la convoluzione di distribuzioni, puoi riscrivere il tuo integrale doppio come:
\[
\int_0^a \phi (x_1)\ \Big[ \phi * \delta (x_1)\Big]\ \text{d} x_1\; ;
\]
dato che \(\delta\) è la distribuzione neutra rispetto alla convoluzione, \(\phi *\delta =\phi\), e perciò:
\[
\int_0^a \phi (x_1)\ \Big[ \phi * \delta (x_1)\Big]\ \text{d} x_1 = \int_0^a \phi^2 (x_1)\ \text{d} x_1\; .
\]

[Light_1]

Ho capito , ti ringrazio !