Proprietà dell'inf di un insieme
Siano U e V due insiemi limitati di numeri reali. Dimostrare che Inf(U+V)=Inf(U)+Inf(V)
Questa è la soluzione:
$u+v >= $inf(U)+inf(V), per ogni $\epsilon >0$ esistono $bar(u) in U$ e $bar(v) in V$ con inf(U)$<=bar(u)<=$inf(U)+$\epsilon/2$ e inf(V)$<=bar(v)<=$inf(V)+$\epsilon/2$ e quindi inf(U)+inf(V)$<=bar(u)+bar(v)<=$inf(U)+inf(V)+$\epsilon$.
Ma io non riesco mica a capirla....tutti i passaggi sono corretti e chiari. Ma non ho mica dimostrato ciò che mi chiede il testo! Inf(U+V) non lo vedo da nessuna parte....mi potete aiutare?Grazie!
Questa è la soluzione:
$u+v >= $inf(U)+inf(V), per ogni $\epsilon >0$ esistono $bar(u) in U$ e $bar(v) in V$ con inf(U)$<=bar(u)<=$inf(U)+$\epsilon/2$ e inf(V)$<=bar(v)<=$inf(V)+$\epsilon/2$ e quindi inf(U)+inf(V)$<=bar(u)+bar(v)<=$inf(U)+inf(V)+$\epsilon$.
Ma io non riesco mica a capirla....tutti i passaggi sono corretti e chiari. Ma non ho mica dimostrato ciò che mi chiede il testo! Inf(U+V) non lo vedo da nessuna parte....mi potete aiutare?Grazie!
Risposte
L'ultimo passaggio è
\[ \inf (U+V) \leq \bar{u} + \bar{v} \leq \inf U + \inf V + \epsilon.\]
\[ \inf (U+V) \leq \bar{u} + \bar{v} \leq \inf U + \inf V + \epsilon.\]
E perchè..?se poi cosi fosse allora dovrebbe essere inf(U+V)$<= bar(u)+bar(v)<= $inf(U+V)+$\epsilon$ no?
Andiamo con ordine.
Tu sai che
\( \inf U \leq u, \inf V\leq v \Longrightarrow \inf U + \inf V \leq u+v \) per ogni \( u\in U, v\in V\).
Questo, per definizione di \(U+V\), implica che \( \inf U + \inf V \) è un minorante di \( U+V\), dunque
\( \inf U + \inf V \leq \inf(U+V) . \)
Rimane dunque da dimostrare la disuguaglianza opposta.
Per fare ciò, fissato \(\epsilon > 0\) determini \( \bar{u}, \bar{v} \) come nel tuo primo post, ottenendo
\( \inf(U+V) \leq \bar{u} + \bar{v} \leq \inf U + \inf V + \epsilon, \)
da cui segue la disuguaglianza voluta data l'arbitrarietà di \( \epsilon\).
(Osserva che, in quest'ultimo passaggio, la prima disuguaglianza è valida per ogni \(u\in U, v\in V\), dunque anche per i due elementi che hai fissato tu.)
Tu sai che
\( \inf U \leq u, \inf V\leq v \Longrightarrow \inf U + \inf V \leq u+v \) per ogni \( u\in U, v\in V\).
Questo, per definizione di \(U+V\), implica che \( \inf U + \inf V \) è un minorante di \( U+V\), dunque
\( \inf U + \inf V \leq \inf(U+V) . \)
Rimane dunque da dimostrare la disuguaglianza opposta.
Per fare ciò, fissato \(\epsilon > 0\) determini \( \bar{u}, \bar{v} \) come nel tuo primo post, ottenendo
\( \inf(U+V) \leq \bar{u} + \bar{v} \leq \inf U + \inf V + \epsilon, \)
da cui segue la disuguaglianza voluta data l'arbitrarietà di \( \epsilon\).
(Osserva che, in quest'ultimo passaggio, la prima disuguaglianza è valida per ogni \(u\in U, v\in V\), dunque anche per i due elementi che hai fissato tu.)
@melli13: Quando scrivi le formule non mescolare il testo normale e il testo in modo matematico. Esempio:
è sbagliato: inf(U+W)\(\le \bar{u}+\bar{v}\)
è corretto: \(\inf(U+W) \le \bar{u}+\bar{v}\).
è sbagliato: inf(U+W)\(\le \bar{u}+\bar{v}\)
è corretto: \(\inf(U+W) \le \bar{u}+\bar{v}\).
@Rigel: Grazie mille..ora ho capito..
@dissonance: Scusami ma non riesco a scrivere inf(U+W) in forma matematica, perchè inf lo vede come in+f e per il programma in è il simbolo di appartenenza e quindi mi esce $inf(U+W)$
@dissonance: Scusami ma non riesco a scrivere inf(U+W) in forma matematica, perchè inf lo vede come in+f e per il programma in è il simbolo di appartenenza e quindi mi esce $inf(U+W)$
Ah capisco. La soluzione è scrivere "inf" tra virgolette.
Grazie, non sapevo di questo trucco...
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