Proprietà delle potenze

[Settevoltesette]

Devo dimostrare la seguente proprietà:

$b>1$
$x, y$ reali

$b^(x+y) = b^x*b^y$

L'ho dimostrata per x, y interi e razionali, non so come muovermi per x, y reali, qualche aiuto?

[Studente Anonimo]

Per ogni \( x \in \mathbb{R} \) esiste una successione di numeri razionali \( \{ q_n \}_{n \in \mathbb{N}} \) tale che \( q_n \to x \).

[Settevoltesette]

No, chiedo scusa se non ho specificato, ma non posso usare limiti di successioni (anche se al momento non saprei nemmeno con quelle) l'unico materiale che ho sono

le proprietà di un campo,

proprietà dell'estremo superiore di R (ogni sottoinsieme non vuoto e limitato superiormente di R ha estremo superiore)

esistenza e unicità della radice n-esima

densità di Q in R

proprietà Archimedea di R

(anche se le ultime due non mi viene in mente un modo per utilizzarle)

[pilloeffe]

Ciao Settevoltesette,

Potresti dare un'occhiata qui.
(Proposizione 1.10.5 a pagina 49)

[Settevoltesette]

Grazie!

[marco.ruggiero]

Partiamo dal presupposto, che utilizzo come definizione di potenza ad esponente reale x di base $a in RR$, a>1, la seguente:

$a^x$ è l'elemento separatore della coppia di classi contigue $(A_x,B_x)$, con

$A_x={a^p:p in QQ,px}$

mentre, se $0
Siano $p,q in QQ$ tali che $p

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