Proprietà della derivata seconda nelle sommatorie

[Angus1956]

Sia $f:[a,b]->RR$ e sia $sigma={a=x_0<...
Provo a dare una mia dimostrazione:

So che esistono il minimo e il massimo di {$f''(xi_k)|kin{0,...,n-1}}$ poichè è un insieme finito.

$min_{kin{0,...,n-1}}f''(xi_k)\sum_{k=0}^{n-1}(x_(k+1)-x_k)^3<=\sum_{k=0}^{n-1}f''(xi_k)(x_(k+1)-x_k)^3<=max_{kin{0,...,n-1}}f''(xi_k)\sum_{k=0}^{n-1}(x_(k+1)-x_k)^3$

da cui:

$min_{kin{0,...,n-1}}f''(xi_k)<=(\sum_{k=0}^{n-1}f''(xi_k)(x_(k+1)-x_k)^3)/(\sum_{k=0}^{n-1}(x_(k+1)-x_k)^3)<=max_{kin{0,...,n-1}}f''(xi_k)$

Sapendo che $f''$ è continua su $[a,b]$ poichè $finC^2$ per Weiestrass esistono massimo e minimo di $f''$ su $[a,b]$ e uso che $min_{x in[a,b]}f''(x)<=min_{kin{0,...,n-1}}f''(xi_k)$ e $max_{kin{0,...,n-1}}f''(xi_k)<=max_{x in[a,b]}f''(x)$, per cui ottengo:

$min_{x in[a,b]}f''(x)<=(\sum_{k=0}^{n-1}f''(xi_k)(x_(k+1)-x_k)^3)/(\sum_{k=0}^{n-1}(x_(k+1)-x_k)^3)<=max_{x in[a,b]}f''(x)$

Infine uso che $f''$ è continua su $[a,b]$ poichè $finC^2$ e quindi per il teorema dei valor medi $EExiin(a,b)$ tale che $f''(xi)=(\sum_{k=0}^{n-1}f''(xi_k)(x_(k+1)-x_k)^3)/(\sum_{k=0}^{n-1}(x_(k+1)-x_k)^3)$, da cui ottengo che $\sum_{k=0}^{n-1}f''(xi_k)(x_(k+1)-x_k)^3=f''(xi)\sum_{k=0}^{n-1}(x_(k+1)-x_k)^3$

Può andar bene?

[Cannone Speciale]

Non sono un matematico ma a me sembra proprio corretta, comunque mi sembra che questo valga ugualmente se si sostituisce f'' con una qualsiasi funzione continua.