Proprietà dell' inclusione compatta

[Fox4]

Sia $U$ un aperto di $\mathbb{R}^n$

Sia $V\sub\subU$ cioè $\exists K \ tc\ V\subK\subU$ con $K$ compatto.

Dato che compatto in $\mathbb{R}^n$ vuol dire limitato e chiuso posso dire:
-esiste $\delK$, il bordo di $K$
-$U-K$ è aperto
ok?

Inoltre,
dato che $K$ compatto è incluso in $U$ aperto esiste maggiore stretto di 0 il numero $d(\delK,\delU)=r>0$, minima distanza tra i due bordi.
prendiamo allora l'insieme $C={x\inU-K\ \ |\ \ d(x,\delK)=[r]/[2]}$

Se me lo fate dire così (sennò penso di poter trovare un modo più formale e più lungo di dirlo), definisco $W$ come il sottoinsieme aperto di $U$ "racchiuso" da C.
cioè $H=\barW=W\cupC$.
E notiamo che $U\supH\supW\supK\supV$

Ho dimostrato allora che se $V\sub\subU\ \ \ =>\ \ \ \exists W \ \ tc\ \ V\sub\subW\sub\subU$

quindi $\forall n\in \mathbb{N}$ esistono $n$ insiemi $W_i$ con $i=1..n$ tc $V\sub\subW_1\sub\subW_2...\sub\subW_n\sub\subU$
ok?

[dissonance]

(Devi dimostrare il lemma di Urysohn?)
Più o meno va bene ma ci sono alcuni errori:

Dato che compatto in $\mathbb{R}^n$ vuol dire limitato e chiuso posso dire:
-esiste $\delK$, il bordo di $K$
-$U-K$ è aperto
ok?

Il bordo di $K$ esisterebbe anche se $K$ non fosse compatto, per definizione $delK=bar{K}nn\bar{RR^n-K}$. Io eviterei di tirare in ballo il bordo, però, puoi uscirtene più velocemente così:
essendo $K$ compatto e $U$ aperto, la distanza $"dist"(K, RR^n-U)=r>0$ perché è la distanza di un compatto da un chiuso. Poi prendi l'insieme $C={x\inRR^n\ |\ "dist"(x, K)<=(r/2)}$ che risulterà essere:
-) contenuto in $U$ perché ogni suo punto è troppo lontano da $RR^n-U$;
-) contenente $K$ perché $x\inK\ iff\ "dist"(x, K)=0$ (ancora il discorso sulla distanza dei chiusi dai compatti).
Infine, $C$ è compatto. Infatti $C$ è la controimmagine mediante la funzione continua $"dist"(*, K)$ di un chiuso di $RR$, ed è limitato perché $K$ lo è.

E così non devi fare i salti mortali intorno a quel $delK$.

[Fox4]

Grazie, ok posso anche evitare di usare il bordo di $K$... così riduco i giri di parole e diventa più leggibile

"dissonance":(Devi dimostrare il lemma di Urysohn?)

no, no erano solo considerazioni su questo concetto, perchè intuitivamente mi tornava e pensandoci avevo provato a tirarne fuori la dimostrazione per esercizio.
Sto cercando di seguire un libro che dà solo alcuni punti fissi e quindi io cerco di "interpolare"!