Proprietà dei numeri reali
Salve, non riesco a dimostrare che se $a>=0 $ allora $-a<=0$
Mi potete dare un suggerimento, grazie,
Mi potete dare un suggerimento, grazie,
Risposte
Dal titolo, $a\in\mathbb{R}$. Per dimostrare queste cose elementari, devi usare pesantemente gli assiomi di $\mathbb{R}$. Che cosa hai provato a fare? Il suggerimento qui è difficile da dare, perché dartelo significa praticamente darti una soluzione. Preferisco quindi chiederti di riflettere sugli assiomi, riportando qui quali ti sembrano utili al tuo scopo, scrivere qui come hai provato ad usarli per infine chiederti, eventualmente, di scrivere dove ti blocchi.
Grazie!
Provo a dare una risposta
$a>=0 rArr -a<=0$
La relazione $ a>=b rArr a+c >=b+c$
Posto $b=0$ e $c=-a$ la relazione precedente diventa
$a-a>=0-a rArr 0>=-a rArr -a<=0$
Provo a dare una risposta
$a>=0 rArr -a<=0$
La relazione $ a>=b rArr a+c >=b+c$
Posto $b=0$ e $c=-a$ la relazione precedente diventa
$a-a>=0-a rArr 0>=-a rArr -a<=0$
Prego! Praticamente giusta. Dovresti però spendere un po' di parole in più per giustificare i passaggi: ricordati che, quando si fa algebra a questo livello elementare, è molto importante avere chiare tutte le proprietà che si stanno usando (perché in strutture algebriche più astratte non valgono sempre, ma noi siamo abituati a fare i conti in $\mathbb{R}$ e dunque è facilissimo sbagliare quando si ha poca esperienza). Quindi, sarebbe stato meglio procedere come segue. Dal fatto che per ogni $x,y,z\in\mathbb{R}$ si ha $[x \ge z]\implies [x+y\ge z+y]$, si ha:
$$[a \ge 0] \implies [a+(-a)\ge 0+(-a)]$$
Per definizione di opposto rispetto all'usuale somma in $\mathbb{R}$, è:
$$[a+(-a)\ge 0+(-a)] \implies [0\ge 0+(-a)]$$
Per definizione di elemento neutro $0$ rispetto all'usuale somma in $\mathbb{R}$, è:
$$[0\ge 0+(-a)] \implies [0 \ge -a]$$
$$[a \ge 0] \implies [a+(-a)\ge 0+(-a)]$$
Per definizione di opposto rispetto all'usuale somma in $\mathbb{R}$, è:
$$[a+(-a)\ge 0+(-a)] \implies [0\ge 0+(-a)]$$
Per definizione di elemento neutro $0$ rispetto all'usuale somma in $\mathbb{R}$, è:
$$[0\ge 0+(-a)] \implies [0 \ge -a]$$
Ottima spiegazione $ Mephlip$ Grazie
Vado avanti con le altre dimostrazioni:
devo dimostrare che $a<=b$ e $c<0 rArr ac >= bc$
Io ho pensato di fare così:
$AA a,b, c in RR$ si ha $[a<=b]$ e $[c<0] rArr [ac >= bc]$ (monotonia rispetto prodotto)
Ora, $[ac >= bc] rArr [ac- bc >=0]$
Per applicazione della proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla differenza in $RR$, è
$[ac- bc >=0] rArr [c(a-b)>=0]$
Per l'esistenza dell'elemento neutro $0$ rispetto alla somma in $RR$, è
$[c(a-b)>=0] rArr [(c+0)(a-b)>=0] $
Per applicazione della proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla differenza in $RR$, è
$[(c+0)(a-b)>=0] rArr [ac - bc +0a + (-0b)>=0]$
Per definizione della legge di cancellazione del prodotto in $RR$, è
$[ac -bc +0a + (-0b)>=0] rArr [ac- bc +0 + (-0) >=0] $
Per l'esistenza dell'opposto rispetto alla somma in $RR$, è
$ [ac- bc +0 + (-0) >=0] rArr [ ac -bc >=0]$
Infine $[ ac -bc >=0] rArr [ac >=bc] $
Vado avanti con le altre dimostrazioni:
devo dimostrare che $a<=b$ e $c<0 rArr ac >= bc$
Io ho pensato di fare così:
$AA a,b, c in RR$ si ha $[a<=b]$ e $[c<0] rArr [ac >= bc]$ (monotonia rispetto prodotto)
Ora, $[ac >= bc] rArr [ac- bc >=0]$
Per applicazione della proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla differenza in $RR$, è
$[ac- bc >=0] rArr [c(a-b)>=0]$
Per l'esistenza dell'elemento neutro $0$ rispetto alla somma in $RR$, è
$[c(a-b)>=0] rArr [(c+0)(a-b)>=0] $
Per applicazione della proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla differenza in $RR$, è
$[(c+0)(a-b)>=0] rArr [ac - bc +0a + (-0b)>=0]$
Per definizione della legge di cancellazione del prodotto in $RR$, è
$[ac -bc +0a + (-0b)>=0] rArr [ac- bc +0 + (-0) >=0] $
Per l'esistenza dell'opposto rispetto alla somma in $RR$, è
$ [ac- bc +0 + (-0) >=0] rArr [ ac -bc >=0]$
Infine $[ ac -bc >=0] rArr [ac >=bc] $
Prego! Ma se già conosci la proprietà di monotonia rispetto al prodotto, ti basta notare che da $a \le b$ e $c<0$ seguono $b+(-a) \ge 0$ e, per quello che hai dimostrato prima, $-c>0$; puoi quindi usare la distributività. Intendo:
$$[(a \le b) \wedge (c<0)] \implies [(b+(-a) \ge 0)\wedge (-c>0)] \implies [(b+(-a))(-c) \ge 0]$$
$$\implies [b(-c)+(-a)(-c) \ge 0] \implies [ac \ge bc]$$
Chiaramente mi contraddico subito, avendo omesso per brevità i passaggi che ti avevo detto di esplicitare nella risposta precedente
. Non che la tua sia sbagliata, è solo più macchinosa perché o ripeti cose già fatte in dimostrazioni più elementari o non usi variazioni su cose che hai già dimostrato. Ma è normale che sia così, non ti preoccupare. La capacità di dimostrare cose si affina col tempo, anche su questi aspetti.
$$[(a \le b) \wedge (c<0)] \implies [(b+(-a) \ge 0)\wedge (-c>0)] \implies [(b+(-a))(-c) \ge 0]$$
$$\implies [b(-c)+(-a)(-c) \ge 0] \implies [ac \ge bc]$$
Chiaramente mi contraddico subito, avendo omesso per brevità i passaggi che ti avevo detto di esplicitare nella risposta precedente
. Non che la tua sia sbagliata, è solo più macchinosa perché o ripeti cose già fatte in dimostrazioni più elementari o non usi variazioni su cose che hai già dimostrato. Ma è normale che sia così, non ti preoccupare. La capacità di dimostrare cose si affina col tempo, anche su questi aspetti.
Grazie! Quindi potevo partire dalle legge di monotonia e applicare la proprietà distributiva per raggiungere il risultato.
Sono d'accordo, la capacità nelle dimostrazioni richiede tempo.
Sono d'accordo, la capacità nelle dimostrazioni richiede tempo.
Devo dimostrare che $a^2>=0$
Procedo così:
$[a>=0 hArr -a<=0]$
Per cui avrò:
$[a>=0 rArr -a<=0] rArr [-a*(-a)]>=0 rArr [a^2>=0]$
$[-a<=0 rArr -(-a)>=0] rArr [a*(a)>=0] rArr [a^2>=0]$
Procedo così:
$[a>=0 hArr -a<=0]$
Per cui avrò:
$[a>=0 rArr -a<=0] rArr [-a*(-a)]>=0 rArr [a^2>=0]$
$[-a<=0 rArr -(-a)>=0] rArr [a*(a)>=0] rArr [a^2>=0]$
Se non ho capito male e nelle ultime due righe stai separando i casi $a \ge 0$ e $a \le 0$, non mi torna l'ultima riga. In quel caso, devi supporre $a \le 0$ e non $-a \le 0$ (anche perché $-a \le 0$ è equivalente in $\mathbb{R}$ ad $a \ge 0$ e quindi sei tornato nel caso precedente).
Mi sono confuso: nella seconda riga è come dici tu:
$[a<=0 rArr -a>=0] rArr [(-a)(-a)>=0] rArr [a^2 >=0 ]$
Adesso dovrebbe andare bene. Grazie
$[a<=0 rArr -a>=0] rArr [(-a)(-a)>=0] rArr [a^2 >=0 ]$
Adesso dovrebbe andare bene. Grazie
Allora sì, va bene. Prego!
Buongiorno, provo a dimostrare che
$abs(abs(a)-abs(b))<=abs(a-b)<=abs(a)+abs(b)$
Dal lemma $-abs(a)<=a<=abs(a)$ e dalla definizione di valore assoluto
$abs(a)= abs(a-b+b)<=abs(a-b)+abs(b) rArr abs(a) -abs(b) <=abs(a-b)$
$abs(b)= abs(b -a+a)<=abs(b-a)+abs(a) rArr abs(b)-abs(a) <=abs(b-a)=abs(a-b)$
Ricordando che $abs(a-b)= max {(abs(a)-abs(b)),-(abs(a)-abs(b)) }$ dalle precedenti relazioni si deduce che $abs(abs(a)-abs(b))<=abs(a-b)$
$abs(a-b)<=abs(a)+abs(b)$
$(a-b)=(a+(-b))<=abs(a)+abs(-b)=abs(a)+abs(b)$
$-(a-b)=(b)+(-a))<=abs(b)+abs(-a)=abs(a)+abs(b)$
segue $abs(a-b)<=abs(a)+abs(b)$
Pertanto
$abs(abs(a)-abs(b))<=abs(a-b)<=abs(a)+abs(b)$
$abs(abs(a)-abs(b))<=abs(a-b)<=abs(a)+abs(b)$
Dal lemma $-abs(a)<=a<=abs(a)$ e dalla definizione di valore assoluto
$abs(a)= abs(a-b+b)<=abs(a-b)+abs(b) rArr abs(a) -abs(b) <=abs(a-b)$
$abs(b)= abs(b -a+a)<=abs(b-a)+abs(a) rArr abs(b)-abs(a) <=abs(b-a)=abs(a-b)$
Ricordando che $abs(a-b)= max {(abs(a)-abs(b)),-(abs(a)-abs(b)) }$ dalle precedenti relazioni si deduce che $abs(abs(a)-abs(b))<=abs(a-b)$
$abs(a-b)<=abs(a)+abs(b)$
$(a-b)=(a+(-b))<=abs(a)+abs(-b)=abs(a)+abs(b)$
$-(a-b)=(b)+(-a))<=abs(b)+abs(-a)=abs(a)+abs(b)$
segue $abs(a-b)<=abs(a)+abs(b)$
Pertanto
$abs(abs(a)-abs(b))<=abs(a-b)<=abs(a)+abs(b)$
Mi sono reso conto di aver fatto un pò di confusione.
Provo a rimediare
$||a|−|b||≤|a−b|≤|a|+|b|$ $[a]$
Prendo in considerazione il lemma della disuguaglianza triangolare diretta: $AA a,b in RR, abs(a+b)<= abs(a)+abs(b)$ e pongo
$|a|=|(a−b)+b|≤|a−b|+|b| rArr |a|−|b|≤|a−b|$
(per lemma considerarlo e per le proprietà delle disequazion)
$|b|=|(b−a)+a|≤|b−a|+|a| rArr |b|−|a|≤|b−a| rArr |a|-|b| >=-|b−a|= -abs(a-b)$
(per lemma precedente, proprietà disequazioni e per parità del valore assoluto)
Ora mettendo insieme i risultati ottengo
$+-(|a|−|b|)≤|a−b|$
Infine, ricordando la definizione di valore assoluto, si ha
$||a|−|b|| =max{−(|a|−|b|),|a|−|b|}≤|a−b|$
Dimostrò adesso
$|a−b|≤|a|+|b|$
Per definizione di valore assoluto si ha:
$|a−b|=a-b $ se $ a-b>=0$ segue
$(a−b)=(a+(−b))≤|a|+|−b|=|a|+|b|$
lemma precedente e parità del valore assoluto
$|a−b|=-(a-b) $ se $ a-b<0$ segue
$−(a−b)=(b)+(−a))≤|b|+|−a|=|a|+|b|$
lemma precedente, parità del valore assoluto e proprietà commutativa
segue $|a−b|≤|a|+|b|$
Pertanto
$||a|−|b||≤|a−b| ^^ $|a−b|≤|a|+|b|$ per proprietà transitiva si ha anche
$||a|−|b||≤|a|+|b|$ e la $a$ resta dimostrata
Può passare come dimostrazione?
Mi sto esercitando su questo tipo di dimostrazioni e ho qualche dubbio Grazie sempre
Provo a rimediare
$||a|−|b||≤|a−b|≤|a|+|b|$ $[a]$
Prendo in considerazione il lemma della disuguaglianza triangolare diretta: $AA a,b in RR, abs(a+b)<= abs(a)+abs(b)$ e pongo
$|a|=|(a−b)+b|≤|a−b|+|b| rArr |a|−|b|≤|a−b|$
(per lemma considerarlo e per le proprietà delle disequazion)
$|b|=|(b−a)+a|≤|b−a|+|a| rArr |b|−|a|≤|b−a| rArr |a|-|b| >=-|b−a|= -abs(a-b)$
(per lemma precedente, proprietà disequazioni e per parità del valore assoluto)
Ora mettendo insieme i risultati ottengo
$+-(|a|−|b|)≤|a−b|$
Infine, ricordando la definizione di valore assoluto, si ha
$||a|−|b|| =max{−(|a|−|b|),|a|−|b|}≤|a−b|$
Dimostrò adesso
$|a−b|≤|a|+|b|$
Per definizione di valore assoluto si ha:
$|a−b|=a-b $ se $ a-b>=0$ segue
$(a−b)=(a+(−b))≤|a|+|−b|=|a|+|b|$
lemma precedente e parità del valore assoluto
$|a−b|=-(a-b) $ se $ a-b<0$ segue
$−(a−b)=(b)+(−a))≤|b|+|−a|=|a|+|b|$
lemma precedente, parità del valore assoluto e proprietà commutativa
segue $|a−b|≤|a|+|b|$
Pertanto
$||a|−|b||≤|a−b| ^^ $|a−b|≤|a|+|b|$ per proprietà transitiva si ha anche
$||a|−|b||≤|a|+|b|$ e la $a$ resta dimostrata
Può passare come dimostrazione?
Mi sto esercitando su questo tipo di dimostrazioni e ho qualche dubbio Grazie sempre
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