Proprietà dei funzionali lineari
Buonasera a tutti,
desideravo sottoporVi un quesito.
Devo dimostrare la seguente proposizione:
"Siano [tex]V[/tex] uno spazio normato e [tex]L:V\to \mathbb{R}[/tex] un funzionale lineare. Dimostrare che se [tex]L[/tex] ha immagine limitata, allora [tex]L[/tex] è il funzionale nullo."
Io (credo!) di aver dimostrato la suddetta proposizione nel modo seguente.
Supponiamo, per assurdo, che [tex]L[/tex] non sia identicamente nullo, quindi esiste [tex]\overline{v}\in V[/tex] tale che [tex]L(\overline{v})=\lambda\neq 0[/tex]. Per ipotesi, [tex]L[/tex] ha immagine limitata, quindi esiste [tex]K>0[/tex] tale che [tex]|L(V)|\leq K[/tex]. Si ponga [tex]v_*=\frac{\overline{v}}{\lambda}[/tex] e, chiaramente, [tex]L(v_*)=1[/tex]. Per la linearità di [tex]L[/tex], possiamo scrivere [tex]L((K+1)v_*)=(K+1)L(v_*)=K+1>K[/tex] e ciò è assurdo.
Secondo voi la dimostrazione che ho proposto è corretta?
Vi ringrazio anticipatamente per le risposte.
desideravo sottoporVi un quesito.
Devo dimostrare la seguente proposizione:
"Siano [tex]V[/tex] uno spazio normato e [tex]L:V\to \mathbb{R}[/tex] un funzionale lineare. Dimostrare che se [tex]L[/tex] ha immagine limitata, allora [tex]L[/tex] è il funzionale nullo."
Io (credo!) di aver dimostrato la suddetta proposizione nel modo seguente.
Supponiamo, per assurdo, che [tex]L[/tex] non sia identicamente nullo, quindi esiste [tex]\overline{v}\in V[/tex] tale che [tex]L(\overline{v})=\lambda\neq 0[/tex]. Per ipotesi, [tex]L[/tex] ha immagine limitata, quindi esiste [tex]K>0[/tex] tale che [tex]|L(V)|\leq K[/tex]. Si ponga [tex]v_*=\frac{\overline{v}}{\lambda}[/tex] e, chiaramente, [tex]L(v_*)=1[/tex]. Per la linearità di [tex]L[/tex], possiamo scrivere [tex]L((K+1)v_*)=(K+1)L(v_*)=K+1>K[/tex] e ciò è assurdo.
Secondo voi la dimostrazione che ho proposto è corretta?
Vi ringrazio anticipatamente per le risposte.
Risposte
Va bene.
In alternativa, con le tue notazioni hai che \(L(t \bar{v}) = \lambda\, t\) per ogni \(t\in\mathbb{R}\). Dal momento che \(\lambda\neq 0\), l'immagine di questa restrizione è tutto \(\mathbb{R}\).
In alternativa, con le tue notazioni hai che \(L(t \bar{v}) = \lambda\, t\) per ogni \(t\in\mathbb{R}\). Dal momento che \(\lambda\neq 0\), l'immagine di questa restrizione è tutto \(\mathbb{R}\).
Grazie tante per la risposta!
"Andrea90":
desideravo sottoporVi
Meglio darsi del tu e usare un linguaggio informale! Addirittura la maiuscola alla V hai messo. Sembra tu ti stia rivolgendo a degli azzeccagarbugli!
Dissonance, in realtà ho sempre dato del tu ma certi automatismi talvolta mi precedono e la "v" maiuscola è uno di questi!! 
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