Proprietà degli integrali definiti

[Domodossola1]

Salve a tutti sto studiando le proprietà degli integrali definiti e cioè l'additività dell'integrale rispetto all'intervallo, la linearità dell'integrale e il confronto tra integrali. Bene posso aver capito le proprità, ma la dimostrazione manco una.

Non so se è quella classica pagina che odi a morte e non ti entra in testa..non è che potreste darmi una mano? grazie

[Seneca1]

Riporta le dimostrazioni sul forum, altrimenti è difficile darti l'aiuto che chiedi.

[Domodossola1]

Si è che nn mi piacevano le dimostrazioni del libro..allora:

Additività:

Consideriamo il caso in cui c sia un punto interno all'intervallo [a,b]. Se$ P_1,P_2$ sono partizioni rispettivamente degli intervalli [a,c], [c,b], allora $P=P_1 U P_2$ è una partizione dell'intervallo [a,b] e risulta: s(P) = somma integrale inferiore= $s(P_1)+s(P_2)$; e S(P)= somma integrale superiore= $S(P_1)+S(P_2)$.

Linearità
dato che f,g sono funzioni integrabili secondo Riemann in [a,b], per ogni$ \varepsilon > 0$ esistono P e Q partizioni [a,b] tali che: $S(P,f)-s(P,f)< \varepsilon/2, S(Q,g)-s(Q,g) < \varepsilon/2$. Indichiamo con R la partizione generata da P e Q, cioè $R= P U Q$. Otteniamo $S(R,f)-s(R,f)<\varepsilon/2, S(R,g)-s(R,g)<\varepsilon/2$.

Si verifica che $s(R,f)+s(R,g)<=s(R,f+g)<=S(R,f+g)<=S(R,f)+S(R,g)$

quindi per la definizione di integrale relativo alla funzione $f+g$.

$s(R,f)+s(R,g)<= \lmoustache_{[a,b]} [f(x)+g(x)]dx<=S(R,f)+S(R,g)$

Poichè è anche

$s(R,f)+s(R,g)<= \lmoustache_{[a,b]} f(x) dx+ \lmoustache_{[a,b]} g(x)<=S(R,f)+S(R,g)$

allora $| \lmoustache_{[a,b]} [f(x)+g(x)]dx -[ \lmoustache_{[a,b]} f(x) dx+ \lmoustache_{[a,b]} g(x)]< \varepsilon$

e cosi arriviamo alla conlusione.

Intanto questi due.

Grazie

[asromavale1]

enuncio e riporto la dimostrazione del seguente teorema fiducioso nell' aiuto di qualcuno
teorema:se a,b,c sono tre punti di un intervallo dove la funzione $f(x)$ è integrabile, allora
(1) $ int_(a)^(b) f(x) dx= int_(a)^(c) f(x) dx+int_(c)^(b) f(x) dx $
dimostrazione: consideriamo il caso in cui c sia un punto interno all' intervallo $[a,b]$. se $P_1,P_2$ sono partizioni rispettivamente degli intervalli $[a,c],[c,b]$, allora $P=P_1uuP_2$ è una partizione dell' intervallo $[a,b]$ e risulta:

(2) $s(P)=s(P_1)+s(P_2); S(P)=S(P_1)+S(P_2)$
(dove $s(P),S(P)$ sono rispettivamente le somme integrali inferiore e superiore)
da ciò segue la tesi
ora quello che non capisco e che il teorema tralascia come ovvio è come dalla (2) si arrivi alla (1)
spero qualcuno possa aiutarmi
grazie in anticipo

[asromavale1]

Fiducioso che qualcuno risponda al mio messaggio precedente espongo un altro mio dubbio sulla dimostrazione della linearità dell’ integrale
, se f e g sono funzioni integrabili in $[a,b]$ anche f+g è integrabile in $[a,b]$ e risulta
(1) $ int_(a)^(b) [f(x)+g(x)]dx =int_(a)^(b) f(x)dx+int_(a)^(b) g(x)dx $

dimostrazione: fissato $epsilon>0$, siano $P$ e $Q$ partizioni di $[a,b]$ tali che
(2) $ S(P,f)-s(P,f) indichiamo con $R$ la partizione generata da $P$ e$Q$.Inoltre risultano da un lemma precedente
(3) $S(R,f)-s(R,f)
D'altra parte e immediato verificare che
(4) $s(R,f)+s(R,g)=s(R,f+g)<=S(R,f+g)=S(R,f)+S(R,g)$
quindi per la definizione di integrale relativo alla funzione f +g,
(5) $s(R,f)+s(R,g)<= int_(a)^(b) [f(x)+g(x)] dx <= S(R,f)+S(R,g)$.
poichè è anche
(6) $s(R,f)+s(R,g)<= int_(a)^(b) f(x)dx+ int_(a)^(b) g(x)dx <=S(R,f)+S(R,g)$
dalle (2),(5),(6) segue
(7) $ |int_(a)^(b) [f(x)+g(x)]dx-[int_(a)^(b) f(x)dx+ int_(a)^(b) g(x)dx]| e per l' arbitrarietà di $epsilon$ l' asserto (1)
il mio dubbio è
(d1)posto che $ |int_(a)^(b) [f(x)+g(x)]dx-[int_(a)^(b) f(x)dx+ int_(a)^(b) g(x)dx]|

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[dissonance]

Questo è facile. Qual è l'unico numero reale \(a\) tale che
\[
\lvert a \rvert <\varepsilon
\]
per ogni \(\varepsilon >0\)?

[asromavale1]

naturalmente 0 .grazie dissonance ,se puoi dai un occhiata anche al mio messaggio precedente che non riesco a venirne a capo

[dissonance]

Per il messaggio precedente, usa quest'altro trucco dei numeri reali: se due numeri reali $a$ e $b$ sono tali che $a\le b$ e contemporaneamente $b\le a$, allora sono uguali. Prendi come $a$ il sup di $s(P)$ e come $b$ il sup (su $P_1$ e $P_2$) di $s(P_1)+s(P_2)$. Dovrebbe funzionare. Se non riesci fai un fischio

[asromavale1]

un ulteriore aiuto?non ci arrivo proprio

[asromavale1]

ho pensato che siccome a, b , c sono tre punti di un intervallo dove la funzione è integrabile allora sup$ s(P)=$inf $s(P)$ e lo stesso vale per $P1,P2$ dunque basterebbe dimostrare che sup $s(P)=$sup $s(P1)+$sup$ s(P2)$ ma io so che $s(P)= s(P1)+ s(P2)$ quindi sup $s(P)=$ sup $( s(P1)+ s(P2))$ da questo però non so se posso affermare che sup $s(P)=$sup $s(P1)+$sup$ s(P2)$
cioè non so se vale questa proprietà del sup :sup
(a+b)= sup a
+
sup b

[Plepp]

Penso che dissonance intendesse qualcosa del genere.

Per ogni coppia di partizioni $P_1$, $P_2$ di $[a,c]$ e $[c,b]$ rispettivamente, essendo $P_1\cup P_2$ partizione di $[a,b]$, hai
\[s(P_1)+s(P_2)= s(P_1\cup P_2)\le \sup_P s(P)\stackrel{\text{def}}{=}\int_a^b f(x)\,\text{d}x\]
Passando al sup prima su $P_1$, poi su $P_2$, ottieni
\[\int_a^c f(x)\,\text{d}x+\int_c^b f(x)\,\text{d}x\le \int_a^b f(x)\,\text{d}x\]
Per l'altra disuguaglianza puoi fare così. Se $P$ è una partizione di $[a,b]$, allora $P_1:=(P\cap [a,c])\cup{c}$ e $P_2:=(P\cap [c,b])\cup\{c\}$ sono partizioni di $[a,c]$ e $[c,b]$ rispettivamente. Si ha $P_1\cup P_2=P\cup\{c\}$, quindi
\[s(P)\le s(P\cup\{c\})=s(P_1\cup P_2)=s(P_1)+s(P_2)\le \int_a^c f(x)\,\text{d}x+\int_c^b f(x)\,\text{d}x\]
Passa al sup su $P$ e hai finito

[asromavale1]

non mi è molto chiaro , se passo al sup come dici tu prima su P1,poi suP2 ottengo\[ \int_a^c f(x)\,\text{d}x+\int_c^b f(x)\,\text{d}x\ = \] sup $s(p1)+$ sup $s(P2)>=$\[ s(P_1)+s(P_2)= s(P_1\cup P_2)\le \sup_P s(P)\stackrel{\text{def}}{=}\int_a^b f(x)\,\text{d}x \] e non \[ \int_a^c f(x)\,\text{d}x+\int_c^b f(x)\,\text{d}x\le \int_a^b f(x)\,\text{d}x \]

[Plepp]

Per passare al sup si intende dedurre la disuguaglianza ($A$ è un generico sottoinsieme di $RR$, $r$ un numero)
\[\sup A\le r \tag{1} \]
dal fatto che
\[\forall x\in A,\qquad x\le r \tag{2}\]
Insomma, se riesci a dimostrare che vale $(2)$, ottieni la $(1)$ per definizione di estremo superiore di $A$ (= il più piccolo dei maggioranti di $A$).

Assodato questo (spero), torniamo al problema. Tu sai che, fissata una generica partizione $P_2$ di $[c,b]$, una qualunque somma superiore $s(P_1)$, con $P_1$ partizione di $[a,c]$, soddisfa
\[s(P_1)\le \int_a^b f(x)\,\text{d}x-s(P_2)\]
Segue che
\[\sup_{P_1}s(P_1)=\int_a^c f(x)\,\text{d}x\le \int_a^b f(x)\,\text{d}x-s(P_2)\]
cioé
\[s(P_2)\le \int_a^b f(x)\,\text{d}x-\int_a^c f(x)\,\text{d}x\]
La partizione $P_2$ è generica, per cui possiamo concludere che
\[\sup_{P_2} s(P_2)=\int_c^b f(x)\,\text{d}x\le \int_a^b f(x)\,\text{d}x-\int_a^c f(x)\,\text{d}x\]
Fine. Oppure, più velocemente, da
\[s(P_1)+s(P_2)\le \int_a^b f(x)\,\text{d}x\qquad \forall P_1,P_2\]
ottieni
\[\sup_{P_1,P_2}[s(P_1)+s(P_2)]=\sup_{P_1}s(P_1)+\sup_{P_2}s(P_2)= \int_a^c f(x)\,\text{d}x+\int_c^b f(x)\,\text{d}x \le\int_a^b f(x)\,\text{d}x \]
Più chiaro di così non saprei essere

[asromavale1]

sei stato chiarissimo grazie

[asromavale1]

qualcuno potrebbe spiegarmi in base a quale proprietà dell' integrale posso permettermi questo passaggio:
(1) $ 1/x<=1/k rArrint_(k)^(k+1) dx/x <=int_(k)^(k+1)dx/k $

io come definizione di integrale ho che $ int_(a)^(b) f(x)dx=s(f)=S(f) $

dove $ s(f)= Sup{s(P):P$ partizione di $ [a,b] }$ e

$ S(f)= Inf{S(P):P$ partizione di $ [a,b] }$