Proprietà degli integrali?
Scusate, ma non sapevo proprio quale fosse la sezione più adatta a questo mio problema.
Da voi bravi matematici sicuramente potrò ottenere una conferma di una mia supposizione!!
Diciamo che devo calcolare approssimativamente il seguente integrale
\(\begin{equation} \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x)dx\end{equation}\)
il problema è questo: non mi è data la $f(x)$ ma ho solo il grafico della funzione nell'intervallo \([a,b]\) su file immagine
Allora ho proceduto in maniera subdola
calcolando l'area sottesa al grafico etc..
Ma il problema non è questo, quello che chiedo a voi è:
Sul grafico le ascisse sono rappresentate in scala diversa rispetto alle ordinate , dunque l'area calcolata dal software (che non tiene conto della scala, ma delle dimensioni della rappresentazione) non corrisponde all'integrale, ma la quantità che ottengo dividendo per la lunghezza dell'intervallo penso sia (circa) pari a quella ottenuta per via analitica supponendo di conoscere la funzione: corretto?
intuitivamente se prendo un rettangolino alla Riemann e lo divido per la base il risultato non dovrebbe cambiare anche se le ascisse sono espresse in un altra scala e faccio il conto senza convertire.
Da voi bravi matematici sicuramente potrò ottenere una conferma di una mia supposizione!!
Diciamo che devo calcolare approssimativamente il seguente integrale
\(\begin{equation} \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x)dx\end{equation}\)
il problema è questo: non mi è data la $f(x)$ ma ho solo il grafico della funzione nell'intervallo \([a,b]\) su file immagine
Allora ho proceduto in maniera subdola
calcolando l'area sottesa al grafico etc..Ma il problema non è questo, quello che chiedo a voi è:
Sul grafico le ascisse sono rappresentate in scala diversa rispetto alle ordinate , dunque l'area calcolata dal software (che non tiene conto della scala, ma delle dimensioni della rappresentazione) non corrisponde all'integrale, ma la quantità che ottengo dividendo per la lunghezza dell'intervallo penso sia (circa) pari a quella ottenuta per via analitica supponendo di conoscere la funzione: corretto?
intuitivamente se prendo un rettangolino alla Riemann e lo divido per la base il risultato non dovrebbe cambiare anche se le ascisse sono espresse in un altra scala e faccio il conto senza convertire.
Risposte
Si corretto.
Grazie Quinzio, anche te studi ingegneria vero?
Sapresti darmi una dimostrazione formale? oppure è abbastanza banale in quanto basta la mia giustificazione?
EDIT: penso proprio basti la definizione di integrale e di integrale definito, in fondo si tratta di un limite e le quantità costanti possono essere portate fuori
Sapresti darmi una dimostrazione formale? oppure è abbastanza banale in quanto basta la mia giustificazione?
EDIT: penso proprio basti la definizione di integrale e di integrale definito, in fondo si tratta di un limite e le quantità costanti possono essere portate fuori
Per la dimostrazione proprio formale devi fare un cambiamento di variabile. "Cambiare scala alle ascisse", in formule, significa che invece di integrare \(f(x)\) stai integrando \(f(\lambda x)\), dove \(\lambda >0\) è il fattore di conversione: ma allora con la sostituzione \(y=\lambda x\) ottieni
\[\frac{1}{b-a}\int_a^b f(\lambda x)\, dx=\frac{1}{\lambda b - \lambda a}\int_{\lambda a}^{\lambda b}f(y)\, dy\]
e quindi qualsiasi scala tu scelga l'integrale ha sempre la stessa forma. Io comunque farei un discorso più informale di analisi dimensionale: \(\int_a^b f (x)\, dx\) ha le dimensioni di \(x\), quindi
\[\frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)\, dx\]
è adimensionale e perciò non risente del cambiamento di scala. Cfr. S.Mahajan Street Fighting Mathematics, capitolo uno:
http://mitpress.mit.edu/catalog/item/de ... &tid=12156
\[\frac{1}{b-a}\int_a^b f(\lambda x)\, dx=\frac{1}{\lambda b - \lambda a}\int_{\lambda a}^{\lambda b}f(y)\, dy\]
e quindi qualsiasi scala tu scelga l'integrale ha sempre la stessa forma. Io comunque farei un discorso più informale di analisi dimensionale: \(\int_a^b f (x)\, dx\) ha le dimensioni di \(x\), quindi
\[\frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)\, dx\]
è adimensionale e perciò non risente del cambiamento di scala. Cfr. S.Mahajan Street Fighting Mathematics, capitolo uno:
http://mitpress.mit.edu/catalog/item/de ... &tid=12156
"dissonance":
Per la dimostrazione proprio formale devi fare un cambiamento di variabile. "Cambiare scala alle ascisse", in formule, significa che invece di integrare \(f(x)\) stai integrando \(f(\lambda x)\), dove \(\lambda >0\) è il fattore di conversione: ma allora con la sostituzione \(y=\lambda x\) ottieni
\[\frac{1}{b-a}\int_a^b f(\lambda x)\, dx=\frac{1}{\lambda b - \lambda a}\int_{\lambda a}^{\lambda b}f(y)\, dy\]
e quindi qualsiasi scala tu scelga l'integrale ha sempre la stessa forma. Io comunque farei un discorso più informale di analisi dimensionale: \(\int_a^b f (x)\, dx\) ha le dimensioni di \(x\), quindi
\[\frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)\, dx\]
è adimensionale e perciò non risente del cambiamento di scala. Cfr. S.Mahajan Street Fighting Mathematics, capitolo uno:
http://mitpress.mit.edu/catalog/item/de ... &tid=12156
Aspetta dissonance; qui c'è qualcosa che va chiarito.. La grandezza che devo calcolare non è adimensionale
poichè il rapporto dimensionale tra un'area e una lunghezza è una lunghezza.
Nella fattispecie io sto calcolando un parametro misurato in $\mu m$, nella stessa scala delle ordinate.
Va bene lo stesso. Io avevo assunto che \(f\) fosse adimensionale, invece non è questo il caso, ma poco importa. La cosa essenziale è che le sue dimensioni siano indipendenti dalle dimensioni di \(x\).
grazie dissonance, ho letto il link ed è molto chiaro. Bastava pensare alle equazioni dimensionali.
Saluti
Saluti
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