Proprietà coni tangenti

[marco.bre]

Ciao a tutti, mi trovo a dover dimostrare qualche proprietà sui coni tangenti; tutto bene tranne per due che, tra l'altro, il libro dà per ovvie, e infatti ovvie sembrano, ma non sono riuscito a darne una dimostrazione formale.

Innanzitutto, siano $S$,$S_1$,$S_2 subset bbbR^n$ e $hat x$,$v in bbbR^n$. Denotato con $text{Tan}[S,hat x]$ il cono tangente ad $S$ in $hat x$, le due proprietà in questione sono:

$S_1 subset S_2 Rightarrow text{Tan}[S_1,hat x] subset text{Tan}[S_2,hat x]$

$text{Tan}[S_1 cup S_2]=text{Tan}[S_1,hat x] cup text{Tan}[S_2,hat x]$

Qualche idea?

[marco.bre]

"marco.bre":$text{Tan}[S_1 cup S_2]=text{Tan}[S_1,hat x] cup text{Tan}[S_2,hat x]$

Mi sono reso conto che questa è di una ovvietà imbarazzante, infatti

$v in text{Tan}[S_1 cup S_2,hat x] Leftrightarrow v in text{Tan}[S_1,hat x] vee v in text{Tan}[S_2,hat x]$

e segue la tesi. Per l'altra purtroppo non ho ancora risolto

[Rigel1]

Tu sai che $v\in \text{Tan}[S,x]$ se e solo se per ogni successione $(x_i)\subset S$ convergente a $x$, e per ogni successione $t_i\to 0^+$, esiste una successione $(v_i)\subset\RR^n$ convergente a $v$ tale che $x_i+t_i v_i\in S$.

Va da sé che se $S_1\subseteq S_2$ e se $v\in \text{Tan}[S_1, x]$, puoi usare le stesse successioni $(x_i)$, $(t_i)$, $(v_i)$ per mostrare che $v\in \text{Tan}[S_2, x]$.

[marco.bre]

Praticamente dimostri che ogni vettore del primo spazio tangente sta nel secondo... grazie mille Rigel!

[Fioravante Patrone1]

"marco.bre":Praticamente dimostri che ogni vettore del primo spazio tangente sta nel secondo

...sai com'è, chissà perché ciò ricorda la definizione di inclusione

[marco.bre]

"Fioravante Patrone":[quote="marco.bre"]Praticamente dimostri che ogni vettore del primo spazio tangente sta nel secondo

...sai com'è, chissà perché ciò ricorda la definizione di inclusione [/quote]