Proprietà commutativa delle serie
Salve, ho una curiosità riguardo la proprietà commutativa delle serie.
So che essa vale solo per le serie assolutamente convergenti. Al contrario, per le serie non assolutamente convergenti, posso trovare permutazioni che mi portino la serie a fare tutto quello che voglio (convergere, divergere, essere indeterminata)
Ad esempio, la serie generata da $(-1)^n$, che è indeterminata si può fare divergere così
$(1+1+1-1)+(1+1+1-1)+(1+1+1-1)+...>1+1+1+...$
La mia domanda è: come posso farla convergere ad un valore fissato, per esempio $\pi$?
Grazie anticipatamente
So che essa vale solo per le serie assolutamente convergenti. Al contrario, per le serie non assolutamente convergenti, posso trovare permutazioni che mi portino la serie a fare tutto quello che voglio (convergere, divergere, essere indeterminata)
Ad esempio, la serie generata da $(-1)^n$, che è indeterminata si può fare divergere così
$(1+1+1-1)+(1+1+1-1)+(1+1+1-1)+...>1+1+1+...$
La mia domanda è: come posso farla convergere ad un valore fissato, per esempio $\pi$?
Grazie anticipatamente
Risposte
La condizione necessaria per la convergenza di una serie ti dice nulla?
Ciao otta96
Forse mi sono espresso male ma voglio trovare una permutazione che mi faccia convergere quella serie.
Ad esempio mi è stato mostrato come possa convergere a 0 la serie generata da $(-1)^n$, scrivendo
$(-1+1)+(-1+1)+...=0+0+...=0$
Se non è possibile con quella, con ad esempio
$\sum_{1}^{+\infty} \frac{(-1)^(n+1)}{n}$
(che converge ma non assolutamente) come si dovrebbe fare?
Forse mi sono espresso male ma voglio trovare una permutazione che mi faccia convergere quella serie.
Ad esempio mi è stato mostrato come possa convergere a 0 la serie generata da $(-1)^n$, scrivendo
$(-1+1)+(-1+1)+...=0+0+...=0$
Se non è possibile con quella, con ad esempio
$\sum_{1}^{+\infty} \frac{(-1)^(n+1)}{n}$
(che converge ma non assolutamente) come si dovrebbe fare?
Leggiti la dimostrazione del Teorema di Riemann-Dini, il quale assicura che ogni serie convergente ma non assolutamente convergente può essere riordinata in modo da ottenere una serie convergente verso un qualsiasi elemento di $hat(RR)$.
Allora, avevo capito cosa stavi chiedendo, ma credo tu stia facendo un po' di confusione, infatti NESSUN possibile riordinamento della serie iniziale ti può dare una serie convergente (a meno di cambiare cosa si intende per convergenza di una serie), come si fa a dimostrarlo?
Facile, basta notare che per la condizione necessaria per la convergenza di una serie, il termine $n$-esimo deve tendere a $0$, ma nessun riordinamento di $(-1)^n$ ha questa proprietà.
A questo punto potresti essere un po' confuso per queste cose che hai detto:
Ma questa cosa non è vera, perché in questi passaggi stai assumendo implicitamente che per le serie valga l'altra proprietà della somma, ovvero l'associatività, ma nessuno ti garantisce che vale, dovresti cercare di capire quando vale, ma ad ogni modo quello che hai mostrato te, per lo meno, è un esempio che in generale non vale (casi in cui vale sono le serie convergenti perché accorpare alcuni termini della somma equivale a prendere una serie che come successione delle ridotte ha una sottosuccessione delle successione delle ridotte della serie di partenza, che quindi converge allo stesso valore).
Come ha detto giustamente gugo82, un buon modo per capire come fare è leggersi la dimostrazione del teorema, ma io voglio darti l'idea della dimostrazione cosicché tu possa capire come si fa senza dover per forza sorbirti tutti i dettagli della dimostrazione, che volendo potresti anche fare da solo a quel punto: in pratica consideri le due serie fatte dai termini positivi e negativi di quella di partenza, dimostri che entrambe divergono (facendo vedere che altrimenti convergerebbe assolutamente la prima), a quel punto fissi $a,b\in\bar{RR},a<=b$ e cominci a costruirti la tua serie $\sum_{n=0}^(+\infty) a_(\sigma(n))$ ($\sigma$ è la permutazione) tale che, posto $s_n=\sum_{k=0}^n a_(\sigma(k))$, si abbia $\text{liminf}_{n->+\infty} s_n=a, \text{limsup}_{n->+\infty} s_n=b$ (che è la forma più generale del teorema di Riemann-Dini che conosca), facendo pressappoco così: cominci a sommare termini positivi (in ordine e senza trascurarne nessuno) fino a che $s_n>b$, a quel punto cominci a sommare quelli negativi finchè $s_nb$, eccetera eccetera.
La cosa che interessa a te a questo punto la ottieni con $a=pi=b$.
Facile, basta notare che per la condizione necessaria per la convergenza di una serie, il termine $n$-esimo deve tendere a $0$, ma nessun riordinamento di $(-1)^n$ ha questa proprietà.
A questo punto potresti essere un po' confuso per queste cose che hai detto:
"Cantor99":
mi è stato mostrato come possa convergere a 0 la serie generata da $(-1)^n$, scrivendo
$(-1+1)+(-1+1)+...=0+0+...=0$
Ma questa cosa non è vera, perché in questi passaggi stai assumendo implicitamente che per le serie valga l'altra proprietà della somma, ovvero l'associatività, ma nessuno ti garantisce che vale, dovresti cercare di capire quando vale, ma ad ogni modo quello che hai mostrato te, per lo meno, è un esempio che in generale non vale (casi in cui vale sono le serie convergenti perché accorpare alcuni termini della somma equivale a prendere una serie che come successione delle ridotte ha una sottosuccessione delle successione delle ridotte della serie di partenza, che quindi converge allo stesso valore).
Se non è possibile con quella, con ad esempio
$\sum_{1}^{+\infty} \frac{(-1)^(n+1)}{n}$
(che converge ma non assolutamente) come si dovrebbe fare?
Come ha detto giustamente gugo82, un buon modo per capire come fare è leggersi la dimostrazione del teorema, ma io voglio darti l'idea della dimostrazione cosicché tu possa capire come si fa senza dover per forza sorbirti tutti i dettagli della dimostrazione, che volendo potresti anche fare da solo a quel punto: in pratica consideri le due serie fatte dai termini positivi e negativi di quella di partenza, dimostri che entrambe divergono (facendo vedere che altrimenti convergerebbe assolutamente la prima), a quel punto fissi $a,b\in\bar{RR},a<=b$ e cominci a costruirti la tua serie $\sum_{n=0}^(+\infty) a_(\sigma(n))$ ($\sigma$ è la permutazione) tale che, posto $s_n=\sum_{k=0}^n a_(\sigma(k))$, si abbia $\text{liminf}_{n->+\infty} s_n=a, \text{limsup}_{n->+\infty} s_n=b$ (che è la forma più generale del teorema di Riemann-Dini che conosca), facendo pressappoco così: cominci a sommare termini positivi (in ordine e senza trascurarne nessuno) fino a che $s_n>b$, a quel punto cominci a sommare quelli negativi finchè $s_n
La cosa che interessa a te a questo punto la ottieni con $a=pi=b$.
Grazie ad entrambi. Ho letto il teorema di Riemann-Dini e premette che la serie deve essere convergente ma non assolutamente: ciò spiega perché $(-1)^n$ non è "un buon esempio" per quanto voglio provare.
La dimostrazione è un bel po' difficilotta e quindi mi baserò su quella di otta96
La costruzione che suggerisci mi è chiara e intuitivamente mi trovo che la serie "oscilla" sopra e sotto $π$ ma riesco bene a capire il motivo per cui $s_n->π$
La dimostrazione è un bel po' difficilotta e quindi mi baserò su quella di otta96
La costruzione che suggerisci mi è chiara e intuitivamente mi trovo che la serie "oscilla" sopra e sotto $π$ ma riesco bene a capire il motivo per cui $s_n->π$
Perché via via sommi termini che in modulo sono sempre più piccoli, fino a essere infinitesimi.
Penso di aver capito come funziona, grazie mille per l'aiuto
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