Proprietà commutativa della serie
Salve a tutti, è il mio primo post ma spero che qualcuno possa essermi d'aiuto.
Durante lo studio delle Serie numeriche ho trovato sul mio libro un capitolo (1 pag. -.-) che espone la proprietà commutativa di una serie.
Data la serie $a_1+a_2+...+a_n+...$ diremo che la serie $b_1+b_2+...+b_n+...$ è ottenuta riordinando i termini della
serie $a_1+a_2+...+a_n+...$ se esiste un'applicazione invertibile $i : NN rarr NN $ tale che
$ b_n = a_i(n) $ $AA n in NN$
in tal caso si può affermare che la serie data è ottenuta riordinando i termini della serie $ b_1+b_2+....+b_n+..$
pur ricorrendo all'applicazione inversa $i^-1$
il teorema ad essa connessa dice che
se la serie $a_1+a_2+...+a_n+...$ è a termini non negativi ed è convergente allora anche la serie $b_1+b_2+...+b_n+...$ sarà convergente verso la stessa somma
ma quindi la condizione a finché tale teorema sia vero è che $b_n $ sia ottenibile mediante l'inversa di $a_n$ ?? e come si fa a dimostrare ciò?
Scusate ma ho un po di confusione
Durante lo studio delle Serie numeriche ho trovato sul mio libro un capitolo (1 pag. -.-) che espone la proprietà commutativa di una serie.
Data la serie $a_1+a_2+...+a_n+...$ diremo che la serie $b_1+b_2+...+b_n+...$ è ottenuta riordinando i termini della
serie $a_1+a_2+...+a_n+...$ se esiste un'applicazione invertibile $i : NN rarr NN $ tale che
$ b_n = a_i(n) $ $AA n in NN$
in tal caso si può affermare che la serie data è ottenuta riordinando i termini della serie $ b_1+b_2+....+b_n+..$
pur ricorrendo all'applicazione inversa $i^-1$
il teorema ad essa connessa dice che
se la serie $a_1+a_2+...+a_n+...$ è a termini non negativi ed è convergente allora anche la serie $b_1+b_2+...+b_n+...$ sarà convergente verso la stessa somma
ma quindi la condizione a finché tale teorema sia vero è che $b_n $ sia ottenibile mediante l'inversa di $a_n$ ?? e come si fa a dimostrare ciò?
Scusate ma ho un po di confusione
Risposte
Il teorema in questione dice che se $\sum_n a_n$ è una serie a termini non negativi convergente, allora qualsiasi suo riordinamento $\sum_n b_n$ converge alla stessa somma.
Un riordinamento non è altro che una serie in cui hai cambiato l'ordine degli $a_n$; pensa agli $a_n$ come infinite tesserine con scritto il relativo numeretto; le mescoli e le metti in fila con un altro ordine.
Detto in maniera precisa, hai che $b_n = a_{i(n)}$ dove, appunto, $i: \NN\to\NN$ è una biiezione (quindi $i$ è la funzione che ti dice come hai rimescolato le tesserine).
Questa proprietà estende, in questo senso, la proprietà commutativa che vale per la somma di un numero finito di addendi.
Un riordinamento non è altro che una serie in cui hai cambiato l'ordine degli $a_n$; pensa agli $a_n$ come infinite tesserine con scritto il relativo numeretto; le mescoli e le metti in fila con un altro ordine.
Detto in maniera precisa, hai che $b_n = a_{i(n)}$ dove, appunto, $i: \NN\to\NN$ è una biiezione (quindi $i$ è la funzione che ti dice come hai rimescolato le tesserine).
Questa proprietà estende, in questo senso, la proprietà commutativa che vale per la somma di un numero finito di addendi.
Quindi si può concludere che le serie possono usufruire della proprietà commutativa se sono regolari
Comunque ti ringrazio sei stato chiarissimo.
Comunque ti ringrazio sei stato chiarissimo.
"AnthonyDiamond":
Quindi si può concludere che le serie possono usufruire della proprietà commutativa se sono regolari
Attenzione. Solo le serie assolutamente convergenti (e quindi anche tutte quelle convergenti a termini positivi) godono della proprietà commutativa in grande.
Se una serie non è assolutamente convergente, allora vale il seguente celebre e sorprendente risultato, detto teorema di Riemann-Dini:
Sia \(\sum a_n\) una serie reale.
Se la serie \(\sum a_n\) non è assolutamente convergente allora, comunque si scelga \(S\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty\}\), esiste una permutazione \(i:\mathbb{N}\to \mathbb{N}\) tale che:
\[
\sum_{n=1}^\infty a_{i(n)} =S\; .
\]
In altri termini, se una serie non converge assolutamente, è possibile trovarne un riordinamento che abbia per somma un qualsiasi numero reale, oppure che sia divergente.
grazie della precisazione molto gentile
riporto la dimostrazione del seguente teorema con relativa dimostrazione ed elenco i miei dubbi ,fiducioso che qualcuno possa chiarirli
teorema:se la serie $a_1+a_2+..+a_n+...$ è a termini non negativi ed è convergente,allora anche la serie $b_1+b_2+..+b_n+...$ (ottenuta riordinando i termini della prima serie attraverso un applicazione $i:N\rightarrowN; b_n=a_(i(n)))$è convergente verso la stessa somma.
dimostrazione : a norma del teorema sul limite delle successioni monotone basta provare che:
(1) $ Sup_n(a_(i(1))+...+a_(i(n)))=Sup_n(a_1+...+a_n) $
ovvero per le proprieta' dell' estremo superiore, che valgono le condizioni :
(2) $a_(i(1))+...+a_(i(n)<=Sup_n(a_1+...+a_n) $
(3) $AAxx$
per provare la (2) poniamo $j(n)=max{i(1),...,i(n)}$; allora si ha
(4) $ a_(i(1))+...+a_(i(n))<=(a_1+...+a_j(n))<=Sup_n(a_1+...+a_n) $
per provare (3) indichiamo con $k$ un numero naturale tale che $a_1+...+a_k>x$ e con $n_1,...n_k$ i numeri naturali tali che
(5) $i(n_1)=1,...,i(n_k)=k$
posto $m = max{n_1,...,n_k}$, si ha
(6) $a_(i(1))+...+a_(i(m)>=a_1+...+a_k$
Ora i due punti che non mi sono chiari sono:
(d1) perche ponendo $j(n)=max{i(1),...,i(n)}$ seguono queste disuguaglianze $ a_(i(1))+...+a_(i(n))<=a_1+...+a_(j(n))<=Sup_n(a_1+...+a_n) $ ?
(d2)perchè posto $m = max{n_1,...,n_k}$ si ha $a_(i(1))+...+a_(i(m)>=a_1+...+a_k$?
grazie in anticipo
teorema:se la serie $a_1+a_2+..+a_n+...$ è a termini non negativi ed è convergente,allora anche la serie $b_1+b_2+..+b_n+...$ (ottenuta riordinando i termini della prima serie attraverso un applicazione $i:N\rightarrowN; b_n=a_(i(n)))$è convergente verso la stessa somma.
dimostrazione : a norma del teorema sul limite delle successioni monotone basta provare che:
(1) $ Sup_n(a_(i(1))+...+a_(i(n)))=Sup_n(a_1+...+a_n) $
ovvero per le proprieta' dell' estremo superiore, che valgono le condizioni :
(2) $a_(i(1))+...+a_(i(n)<=Sup_n(a_1+...+a_n) $
(3) $AAx
per provare la (2) poniamo $j(n)=max{i(1),...,i(n)}$; allora si ha
(4) $ a_(i(1))+...+a_(i(n))<=(a_1+...+a_j(n))<=Sup_n(a_1+...+a_n) $
per provare (3) indichiamo con $k$ un numero naturale tale che $a_1+...+a_k>x$ e con $n_1,...n_k$ i numeri naturali tali che
(5) $i(n_1)=1,...,i(n_k)=k$
posto $m = max{n_1,...,n_k}$, si ha
(6) $a_(i(1))+...+a_(i(m)>=a_1+...+a_k$
Ora i due punti che non mi sono chiari sono:
(d1) perche ponendo $j(n)=max{i(1),...,i(n)}$ seguono queste disuguaglianze $ a_(i(1))+...+a_(i(n))<=a_1+...+a_(j(n))<=Sup_n(a_1+...+a_n) $ ?
(d2)perchè posto $m = max{n_1,...,n_k}$ si ha $a_(i(1))+...+a_(i(m)>=a_1+...+a_k$?
grazie in anticipo
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