Proprietà caratteristica dell'estremo inferiore
Buonasera a tutti!
Propongo di seguito la dimostrazione di un teorema stesa dal sottoscritto, nella speranza che qualcuno sia disposto a correggere eventuali errori e/o imperfezioni.
Teorema Sia $X$ un insieme non vuoto e tale che $X sub RR$ ed $linRR$. Se sono verificate le proprietà: $AA x inX, l<=x$ e $AAepsilon>0, EE bar x inX:barx
Dimostrazione
Si definisce una partizione $(A',B')$ di $RR$ come segue:
$A'={hinRR:h<=x, AA x in X}$, $B'=RR-A$.
Provare che $l=$inf$X$ equivale a provare che $l$ è l'elemento di separazione della partizione $(A',B')$ di $RR$, ossia che:
1) $a'
Si consideri dapprima il caso 1). Per la prima delle proprietà in ipotesi, risulta: $x>=l>a'$ e quindi $x>a'$. Si osserva che $a'$ risulta minorante per $X$ e quindi $a' in A'$.
Si consideri ora il caso 2). Per la seconda proprietà in ipotesi, $AAepsilon>0, EE bar x inX:barx0, EE bar x inX:barxl$ e allora $(l+epsilon)inB'$. D'altra parte $b'$ non risulta essere minorante per $X$ e quindi apparterrà all'insieme $B'$ (che non contiene minoranti per costruzione).
Si assume allora $l=$inf$X$, in quanto $l$ è il più grande dei minoranti di $X$.
Come vi sembra? La traccia di dimostrazione che avevo mi induceva a considerare le due classi $A'$ e $B'$. Spero di aver fatto correttamente.
In attesa di vostre risposte, vi ringrazio anticipatamente.
Andrea
Propongo di seguito la dimostrazione di un teorema stesa dal sottoscritto, nella speranza che qualcuno sia disposto a correggere eventuali errori e/o imperfezioni.
Teorema Sia $X$ un insieme non vuoto e tale che $X sub RR$ ed $linRR$. Se sono verificate le proprietà: $AA x inX, l<=x$ e $AAepsilon>0, EE bar x inX:barx
Dimostrazione
Si definisce una partizione $(A',B')$ di $RR$ come segue:
$A'={hinRR:h<=x, AA x in X}$, $B'=RR-A$.
Provare che $l=$inf$X$ equivale a provare che $l$ è l'elemento di separazione della partizione $(A',B')$ di $RR$, ossia che:
1) $a'
Si consideri dapprima il caso 1). Per la prima delle proprietà in ipotesi, risulta: $x>=l>a'$ e quindi $x>a'$. Si osserva che $a'$ risulta minorante per $X$ e quindi $a' in A'$.
Si consideri ora il caso 2). Per la seconda proprietà in ipotesi, $AAepsilon>0, EE bar x inX:barx
Si assume allora $l=$inf$X$, in quanto $l$ è il più grande dei minoranti di $X$.
Come vi sembra? La traccia di dimostrazione che avevo mi induceva a considerare le due classi $A'$ e $B'$. Spero di aver fatto correttamente.
In attesa di vostre risposte, vi ringrazio anticipatamente.
Andrea
Risposte
Non è quella che ho studiato io (era per assurdo e leggermente diversa, anche se la sostanza è sempre quella), ma credo che possa andare bene. Mi riservo comunque di rileggerla con più calma e attenzione appena ho un attimo di tempo.
Faccio notare (anche se so che tu l'avrai già notato
) che comunque il teorema è un'equivalenza, quindi si potrebbe anche dimostrare (e la cosa è tutt'altro che difficile) che se $l="inf" X$, allora verifica anche le tue condizioni. Scusami se mi sono permesso, ma ci tenevo a sottolineare questo aspetto, perchè a tutti gli effetti quella che hai scritto si può considerare come una definizione alternativa di estremo inferiore (in $RR$).
Ad maiora.
Faccio notare (anche se so che tu l'avrai già notato
) che comunque il teorema è un'equivalenza, quindi si potrebbe anche dimostrare (e la cosa è tutt'altro che difficile) che se $l="inf" X$, allora verifica anche le tue condizioni. Scusami se mi sono permesso, ma ci tenevo a sottolineare questo aspetto, perchè a tutti gli effetti quella che hai scritto si può considerare come una definizione alternativa di estremo inferiore (in $RR$).Ad maiora.
Sì, il teorema si presenta come una condizione necessaria e sufficiente. La condizione necessaria è estremamente semplice (e l'ho svolta)... il problema era per la condizione sufficiente che ho postato!
Novità?!
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