Proprietà Campo/lavoro lungo segmento/Potenziali

ancileddu
ciao a tutti..volevo proporvi un esercizio tratto da un esame della mia prof d analisi 2 con una possibile risoluzione, chiedendovi la cortesia di correggere i probabili errori..
Il testo:
2. Sia F il campo vettoriale piano:
$(y/(1+xy) -e^x +2,x/(1+xy))$
2.a Determinare il sottoinsieme di $RR^2$ in cui il campo F è definito e darne una rappresentazione
grafica.
2.b Sia $\gamma$ il segmento di estremi P( 0,1 ) e Q(a ,0), con a > 0 , percorso da P verso Q.
Calcolare il lavoro La di F lungo $\gamma$ utilizzando la definizione.
2.c Determinare il valore di a per cui il lavoro L_$\gamma$ è massimo.
2.d Stabilire se il campo è conservativo nell’insieme: A =$ {( x, y ) in RR^2 : x > 0, y > 0}$
motivando adeguatamente e, in caso affermativo, determinarne un potenziale.
2.e Stabilire se è possibile calcolare il lavoro La di F lungo $\gamma$ utilizzando un procedimento
diverso da quanto fatto al punto 4.b motivando adeguatamente e, in caso affermativo, effettuare tale
calcolo.

comincio col 2.a: F definito per $xy != -1$
2.b trovo una parametrizzazione di $\gamma : (0,1)+t(\alpha,-1) =(\alpha*t,1-t)) con t in [0,1]$
La definizione di lavoro è $L=int F_1(x(t),y(t))x'(t) + F_2(x(t),y(t))y'(t)dt$ solo che esce un integrale un pò tosto e quindi cambio strada: $L_F=L_G+L_H$ con $G(x,y)=(y/(1+xy),x/(1+xy))$ e $H(x,y)=(-e^x +2,0)$
Mi confermate che posso fare questa cosa??
$L_G=0$ dopo la risoluzione dell'integrale, potete confermarmi?
$L_H=e^\alpha + 2*\alpha -1 (\alpha>0)$ confermate?
2.c pensavo di trattare $L_F$ come una funzione di $\alpha$ e trovare il massimo con la derivata solo che la derivata mi viene sempre > 0 e quindi non sembra esserci massimo. possibile??
2.d $AA={(x,y) in RR^2 : x>0, y>0}$ F chiuso(ho verificato le derivate che sono uguali) e A semplicemente connesso quindi F conservativo in A
Il potenziale tramite le primitive mi risulta $f(x,y)=log(1+xy) -e^x +2x +$ costante confermate?
2.e Il lavoro posso trovarlo sapendo che il segmento è contenuto in A, l'insieme di definizione del campo lo posso restringere ad A e quindi $L_F=f(x(1),y(1))-f(x(0),y(0))=-e^\alpha + 2\alpha -1$ confermate?
come mai questo cambio di segno?? cosa c'è da aggiungere/modificare???? grazie mille, spero che possa essere utile anche per qualcun'altro..

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