Propr. Estrattiva impulso di Dirac

[alby9411]

Buongiorno, mi servirebbe una mini dimostrazione che l integrale del Delta per un'altra funzione è uguale alla funzione valutata nel punto in cui il Delta è centrato.L'argomento Dell'integrale va inteso come un prodotto tra l'area di due funzioni oppure come il prodotto puntuale delle due funzioni? Perché se considero il prodotto puntuale sono d'accordo che fino al valore in cui ha centrato il Delta l'integrale faccia 0 ma poi il prodotto del Delta per un punto della funzione deve andare ad infinito perché l'altezza del Delta è infinito . Tutto cambia ovviamente se si considera l'area che è ovviamente 1. Mi servirebbe una conferma del perché l'integrale è la funzione valutata nel punto del Delta e non è infinito come l'altezza del Delta. Grazie

[phaerrax]

È in realtà proprio la definizione della "funzione" \(\delta\).
Essa non è proprio una funzione, come vedi facilmente dal fatto che il suo integrale in \(\mathbb R\) vale 1 eppure è quasi ovunque nulla.
Più precisamente puoi definire la \(\delta\) come distribuzione, ossia un funzionale \(\delta_a\) (\(a\in\mathbb R\)) tale che \(\delta_a(\phi)=\phi(a)\).
A quel punto, in analogia con le distribuzioni che si possono esprimere come integrali, nel senso che
\[
(f,\phi)=\int_D f(x)\phi(x)\,\mathrm{d}x
\]
(dove \(D\) è qualche insieme generico che ora non importa) allora si scrive anche
\[
(\delta_a,\phi)\int_D \delta(x-a)\phi(x)\,\mathrm{d}x
\]
e si dà alla funzione \(\delta(x-a)\) le proprietà solite affinché abbia senso, ossia zero ovunque tranne in 0 e così via.
Per questo è sconveniente parlare di aree o volumi o altezza della \(\delta\). Pensala solo come un funzionale lineare su uno spazio di funzioni.