Proposta problema interessante: serie di Mac Laurin
Propongo questo problema (alla portata di tutti) per il risvolto che ha alla fine.
Non ci avevo mai pensato
Considera la funzione
$f(x)={(e^(-1/x^2)\quad if x !=0),(0\quad if x=0):}$
Mostra che:
$f(x)$ ammette derivate di ogni ordine $forallx\inRR$ e che in particolare si ha
$f^n(0)=0\quadn\inNN$
Cosa possiamo dire sulla serie di Mac Laurin e sulla sua somma?
A presto
Non ci avevo mai pensato
Considera la funzione
$f(x)={(e^(-1/x^2)\quad if x !=0),(0\quad if x=0):}$
Mostra che:
$f(x)$ ammette derivate di ogni ordine $forallx\inRR$ e che in particolare si ha
$f^n(0)=0\quadn\inNN$
Cosa possiamo dire sulla serie di Mac Laurin e sulla sua somma?
A presto
Risposte
in zero fa un pò di casino 
...
se riesci prova a vedere cosa succede nei complessi in particolare usando il limite verso $0$ lungo la retta immaginaria. Visto così sembra continua...
...se riesci prova a vedere cosa succede nei complessi
in particolare usando il limite verso $0$ lungo la retta immaginaria. Visto così sembra continua...
La funzione postata da Steven risolve un problema classico del Calcolo Differenziale, ossia il seguente:
"Determinare una funzione di classe $C^oo$ che non sia analitica, ossia provare l'inclusione stretta $C^omega\subset C^oo$"
ove con funzione analitica s'intende una funzione che è sviluppabile in serie di potenze intorno ad ogni punto del suo insieme di definizione. (Ad esempio, esponenziale, seno e coseno sono analitiche in $RR$.)
Provato che la funzione proposta da Steven è $C^oo(RR)$ ma non è analitica, basta poco per trovare esempi in dimensione maggiore.
Infatti la funzione $eta:RR^N\to RR$ definita da:
$eta(x):=\{("e"^(1/(|x|^2-1)), ", se " |x|<1),(0, ", se " |x|>=1):}$
è di classe $C^oo(RR^N)$ epperò non è analitica, in quanto ha tutte le derivate parziali di qualunque ordine nulle in ogni punto della sfera $|x|=1$.
Per $N=2$ il grafico di $eta$ si ottiene facendo ruotare il seguente grafico intorno all'asse delle ordinate:
[asvg]xmin=-1.5;xmax=1.5;ymin=0;ymax=3;
axes("labels");
plot("0",-2,-1);
plot("0",1,2);
plot("exp(1/(x^2-1))",-1,1);[/asvg]
Ad ogni modo, nessuno ha dimostrato ancora che effettivamente $AA n in NN,\ f^((n))(0)=0$ per l'applicazione di Steven.
Sono autorizzato a dare un suggerimento?
"Determinare una funzione di classe $C^oo$ che non sia analitica, ossia provare l'inclusione stretta $C^omega\subset C^oo$"
ove con funzione analitica s'intende una funzione che è sviluppabile in serie di potenze intorno ad ogni punto del suo insieme di definizione. (Ad esempio, esponenziale, seno e coseno sono analitiche in $RR$.)
Provato che la funzione proposta da Steven è $C^oo(RR)$ ma non è analitica, basta poco per trovare esempi in dimensione maggiore.
Infatti la funzione $eta:RR^N\to RR$ definita da:
$eta(x):=\{("e"^(1/(|x|^2-1)), ", se " |x|<1),(0, ", se " |x|>=1):}$
è di classe $C^oo(RR^N)$ epperò non è analitica, in quanto ha tutte le derivate parziali di qualunque ordine nulle in ogni punto della sfera $|x|=1$.
Per $N=2$ il grafico di $eta$ si ottiene facendo ruotare il seguente grafico intorno all'asse delle ordinate:
[asvg]xmin=-1.5;xmax=1.5;ymin=0;ymax=3;
axes("labels");
plot("0",-2,-1);
plot("0",1,2);
plot("exp(1/(x^2-1))",-1,1);[/asvg]
Ad ogni modo, nessuno ha dimostrato ancora che effettivamente $AA n in NN,\ f^((n))(0)=0$ per l'applicazione di Steven.
Sono autorizzato a dare un suggerimento?
"Gugo82":
Ad ogni modo, nessuno ha dimostrato ancora che effettivamente $AA n in NN,\ f^((n))(0)=0$ per l'applicazione di Steven.
Sono autorizzato a dare un suggerimento?
No problem, per me.
E grazie per i dettagli aggiuntivi.
wow ma non è che vi inventate un nuovo teorema??ahah il teorema di gugo e steven:D:D:D
Allora suggerisco in spoiler, come al solito.
Vabbè, mo non esageriamo... Queste sono cose note da un po' di tempo.
(Anche se non so a chi è dovuto questo bell'esempio... Devo cercare un po' in giro.)
P.S. @Steven: Ma non ti bastava mettere $"e"^(-1/x)$?
"piccola88":
wow ma non è che vi inventate un nuovo teorema??ahah il teorema di gugo e steven
Vabbè, mo non esageriamo... Queste sono cose note da un po' di tempo.
(Anche se non so a chi è dovuto questo bell'esempio... Devo cercare un po' in giro.)
P.S. @Steven: Ma non ti bastava mettere $"e"^(-1/x)$?
"Gugo82":
P.S. @Steven: Ma non ti bastava mettere $"e"^(-1/x)$?
Io ho ricopiato dal testo su cui ho trovato tale esercizio.
Buono a sapersi che va bene pure con $e^(-1/x)$
Quanto al tuo suggerimento, non lo comprendo appieno.
Anzitutto facendo il caso $n=1$ ottengo
$f'(x)=2/(x^3)*e^(-1/x^2)=2/x^2*(1/x)*e^(-1/x^2)$
Dov'è il polinomio?
Mi sono accarto che il problema è meno banale di quello che pensavo. Quando ho postato avevo un'idea che filava in testa, ma poi su carta non ho concluso.
Per il secondo punto (mostrare che ogni derivata in zero è zero) pensavo per induzione: per $n=1$ vado col rapporto incrementale
$f'(0)=lim_(xto0)\frac{f(x)-0}{x-0}=lim_(xto0)\frac{e^(-1/x^2)}{x}=0
Poi, dopo l'ip, induttiva
$f^(n+1)(0)=lim_(xto0)\frac{f^n(x)}{x}$ forma indeterminata 0/0 ($f^n$ infatti è continua perché derivabile) ma a questo punto non so se posso spremere ancora: vista la massicia presenza di derivate, ho provato a impiegare De l'Hopital ma senza successo.
Ciao!
Beh, il polinomio è $p_1(y):=2y^3$; infatti $f'(x)=p_1(1/x)*"e"^(-1/x^2)$ per $x>0$...
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